Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2010

Question

O quadriculado deve ser completado usando, em cada casa, um dos números inteiros de 1 a 8, de modo que não haja repetição. A soma dos números de cada linha e cada coluna deve ser como indicado fora do quadriculado; por exemplo, a soma dos números da última coluna deve ser 16. Qual é o número que vai aparecer na casa sombreada?

Quadriculado 3 por 3. A casa superior direita contém o número 9, a casa inferior esquerda contém o número 0 e a casa central está sombreada em cinza. Fora do quadriculado, à direita de cada linha, de cima para baixo, estão indicadas as somas 18, 7 e 13. Abaixo de cada coluna, da esquerda para a direita, estão indicadas as somas 4, 18 e 16.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2010

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

O quadriculado deve ser completado usando, em cada casa, um dos números inteiros de 1 a 8, de modo que não haja repetição. A soma dos números de cada linha e cada coluna deve ser como indicado fora do quadriculado; por exemplo, a soma dos números da última coluna deve ser 16. Qual é o número que vai aparecer na casa sombreada?

Quadriculado 3 por 3. A casa superior direita contém o número 9, a casa inferior esquerda contém o número 0 e a casa central está sombreada em cinza. Fora do quadriculado, à direita de cada linha, de cima para baixo, estão indicadas as somas 18, 7 e 13. Abaixo de cada coluna, da esquerda para a direita, estão indicadas as somas 4, 18 e 16.

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Devemos completar as oito casas vazias na figura à direita escolhendo números entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8, de modo que não apareçam números repetidos. Começaremos pela coluna da esquerda, escolhendo dois números diferentes com soma igual a 4; a única escolha possível é 1 e 3. Se o 3 aparecesse na casa acima do 0, os outros dois números da linha central deveriam ser escolhidos entre 2, 4, 5, 6, 7 e 8 e ter soma igual a 4, o que é impossível. Logo na casa acima do 0 deve aparecer o 1 e o 3 aparece acima do 1. Obtemos então a figura à esquerda.

[Figura: À esquerda, grade 3x3 com a coluna 1 contendo 3, 1, 0 e a linha 1 contendo 3 e 9. À direita, grade 3x3 inicial contendo 9 na linha 1, coluna 3 e 0 na linha 3, coluna 1. Ambas indicam as somas das linhas (18, 7, 13) e colunas (4, 18, 16).]

Passamos agora para a linha superior. Como 3 e 9 ocupam duas casas dessa linha e 3 + 9 = 12, na casa entre o 3 e 9 deve aparecer o 6, ou seja, temos a figura à direita. Notamos que a essa altura só podemos escolher números entre 2, 4, 5, 7 e 8.

[Figura: Grade 3x3 com a primeira linha contendo 3, 6, 9 e a primeira coluna contendo 3, 1, 0; somas das linhas 18, 7, 13 e colunas 4, 18, 16.]

Finalmente passamos para a linha do meio. Os números das casas que faltam na linha do meio devem somar 6, ou sejam, devem ser 2 e 4. Se o 2 estiver na casa central, teremos na coluna do meio 6 + 2 = 8; como a soma dos números dessa coluna é 18, isso não pode acontecer, pois 18 - 8 = 10. Logo o número que aparece na casa central é o 4.

A figura à esquerda mostra o quadrado completamente preenchido.

[Figura: Grade 3x3 preenchida com a linha 1 contendo 3, 6, 9; linha 2 contendo 1, 4, 2; linha 3 contendo 0, 8, 5; somas das linhas 18, 7, 13 e colunas 4, 18, 16.]

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Resolução comentada

O enunciado diz que usamos números de 1 a 8, mas a figura já traz o 9 e o 0 em duas casas. Então 9 e 0 são dados, e as outras 7 casas recebem números de 1 a 8, sem repetir.

Vamos chamar as casas de:

\begin{matrix} a & b & 9 \\ c & x & d \\ 0 & e & f \end{matrix}

Última coluna: 9 + d + f = 16, então d + f = 7.
Linha do meio: c + x + d = 7.
Primeira coluna: a + c + 0 = 4, então a + c = 4. Como são distintos e positivos, \{a,c\}=\{1,3\}.
Primeira linha: a + b + 9 = 18, então a + b = 9. Se a=1, b=8; se a=3, b=6.
Última linha: 0 + e + f = 13, então e + f = 13.
Coluna do meio: b + x + e = 18.

Teste a=3, c=1, b=6: da linha do meio, x + d = 6. Com d+f=7 e e+f=13, temos e = d + 6. Na coluna do meio, 6 + x + d + 6 = 18, logo x + d = 6, consistente. Valores possíveis: d=2, x=4, f=5, e=8. Números usados: 3, 6, 1, 4, 2, 8, 5, todos distintos. Confere.

O outro caso, a=1, c=3, b=8: x+d=4, então d=1 (repete o a) ou d=2 e x=2 (repete), ou d=3 (repete). Não funciona.

Logo x=4.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BResultado que não satisfaz as somas; com x=5 a linha do meio ou a coluna central fica errada.
CO 6 aparece na casa do topo (centro), não na casa sombreada, e repetiria número.
DCom x=7 a linha do meio (soma 7) não fecha com c e d positivos distintos.
EO 8 fica na casa inferior do meio, não na sombreada.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 9 no caderno Nível 1 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 1. Prova oficial ↗