Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2010

Question

A figura mostra a superfície pintada de um azulejo em forma de losango. Dos cinco padrões abaixo, apenas um não pode ser montado com cópias desse azulejo. Qual é esse padrão?

Azulejo em forma de losango com uma parte triangular sombreada em cinza e a outra branca

Padrões A, B e C formados pela junção de azulejos

Padrões D e E formados pela junção de azulejos

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2010

Nível 1 · Matemática: Transformações geométricas e localização

A figura mostra a superfície pintada de um azulejo em forma de losango. Dos cinco padrões abaixo, apenas um não pode ser montado com cópias desse azulejo. Qual é esse padrão?

Azulejo em forma de losango com uma parte triangular sombreada em cinza e a outra branca

Padrões A, B e C formados pela junção de azulejos

Padrões D e E formados pela junção de azulejos

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Mostramos ao lado dois azulejos. O azulejo 1 é o azulejo do enunciado, com o qual foram formadas as figuras das alternativas A), B), C) e D). A figura da alternativa E) foi feita com duas cópias do azulejo 1 e duas cópias do azulejo 2. Como não é possível obter o azulejo 2 por translação ou rotação do azulejo 1, segue que não podemos montar a figura da alternativa E) com cópias do azulejo 1.

[Figura: Desenho de dois azulejos em forma de paralelogramo, identificados como "azulejo 1" e "azulejo 2". No azulejo 1, uma linha vertical separa um triângulo retângulo cinza à esquerda de uma região branca à direita. No azulejo 2, a linha vertical separa uma região branca à esquerda de um triângulo retângulo cinza à direita.]

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Resolução comentada

O azulejo é um losango (ou paralelogramo) dividido por uma reta vertical: de um lado fica um triângulo retângulo cinza e do outro um trapézio retângulo branco. Veja o que esse azulejo permite: ele pode ser girado e espelhado em posição (girar 180° ou virar de cabeça para baixo), mas o triângulo cinza sempre fica junto de um lado inclinado, com o cateto vertical apoiado no trapézio branco.

Para testar os padrões, procure em cada um se todo triângulo cinza tem a seu lado, na mesma peça, o trapézio branco com o mesmo formato.

Nos padrões A, B, C e D, cada triângulo cinza tem a mesma inclinação do azulejo (ou sua rotação), e o resto da peça é branco. Isso pode ser conferido peça por peça: em B e D, por exemplo, os azulejos aparecem girados em 180° ou apenas deslocados, e o triângulo cinza fica na ponta do paralelogramo. O padrão C é um hexágono formado por 3 losangos girados de 120°, e o A é uma estrela com 6 losangos girados de 60°.
No padrão E, a parte esquerda tem pontas em forma de seta. Aqui os triângulos cinza são isósceles, com um vértice na ponta. Para formar essa seta, o triângulo cinza do azulejo teria de ter a altura vertical dividida ao meio pelo vértice, o que não ocorre: no azulejo, o triângulo cinza é retângulo, com um cateto vertical inteiro. Logo os triângulos cinza de E não correspondem à peça dada.

Portanto, o padrão que não pode ser montado é o E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA estrela é obtida girando o azulejo de 60° em torno do centro, então pode ser montada.
BÉ um paralelogramo formado por azulejos transladados ou girados em 180°, possível.
CO hexágono resulta de três azulejos girados de 120°, possível.
DOs azulejos aparecem apenas deslocados ou girados em 180°, possível.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Questão 12 no caderno Nível 1 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 1. Prova oficial ↗