Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Em cada vértice do cubo se encontram 3 varetas (arestas). Se em nenhum vértice pode haver duas varetas da mesma cor, essas 3 varetas precisam ter cores diferentes entre si. Logo, são necessárias pelo menos 3 cores.

Será que 3 bastam? Vamos construir a coloração.

O cubo tem 12 arestas, em 3 direções: 4 paralelas ao comprimento, 4 à largura e 4 à altura. Em cada vértice chega exatamente uma aresta de cada direção.

1. Pinte todas as arestas de uma direção com a cor 1.
2. Pinte todas as arestas da segunda direção com a cor 2.
3. Pinte todas as arestas da terceira direção com a cor 3.

Como cada vértice recebe uma aresta de cada direção, as 3 varetas ali têm cores 1, 2 e 3, todas diferentes. A condição é satisfeita.

Portanto, o mínimo é 3 cores: não dá com 2 (haveria repetição em algum vértice, pois são 3 varetas), e 3 funcionam.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom 2 cores, as 3 varetas de um vértice obrigatoriamente repetiriam alguma cor.
• C4 cores funcionam, mas não é o mínimo, pois 3 já bastam pintando por direção.
• D6 cores é exagero; não há necessidade de cores diferentes para arestas que não se encontram.
• E8 é o número de vértices, não tem relação com o número mínimo de cores das arestas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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