Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

Uma formiguinha quer sair do ponto A e ir até o ponto B da figura I, andando apenas pelos lados dos quadradinhos na horizontal ou na vertical para baixo, sem passar duas vezes pelo mesmo lado. A figura II ilustra um possível trajeto da formiguinha.

De quantas maneiras ela pode ir de A até B?

A
120
B
240
C
360
D
480
E
720

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma formiguinha quer sair do ponto A e ir até o ponto B da figura I, andando apenas pelos lados dos quadradinhos na horizontal ou na vertical para baixo, sem passar duas vezes pelo mesmo lado. A figura II ilustra um possível trajeto da formiguinha.

De quantas maneiras ela pode ir de A até B?

A
120
B
240
C
360
D
480
E
720

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para ir de A até B a formiguinha tem que descer do nível 1 até o nível 6, conforme a figura. O caminho que a formiguinha segue é determinado pela escolha do segmento vertical que ela vai usar para passar de um nível para o seguinte, pois o caminho horizontal que liga dois segmentos verticais ligando níveis consecutivos é único. Como exemplo mostramos na figura, em traço mais forte, os segmentos que ela escolheu para fazer o caminho ilustrado no enunciado. O número de segmentos que ela pode usar para passar de um nível para o outro está tabulado a seguir:

[Figura: Diagrama com uma malha de segmentos disposta em 6 níveis horizontais, numerados de 1 a 6 da esquerda para a direita através de setas horizontais. O ponto A encontra-se no canto superior esquerdo do nível 1 e o ponto B no canto inferior direito do nível 6. Traços azuis mais grossos destacam os segmentos verticais escolhidos para descer de cada nível para o seguinte, unidos por traços horizontais azuis correspondentes.]


1 \to 2: 4 segmentos	4 \to 5: 3 segmentos
2 \to 3: 3 segmentos	5 \to 6: 4 segmentos
3 \to 4: 5 segmentos

Segue que o número de maneiras que nossa formiguinha tem para ir de A até B é 4 \times 3 \times 5 \times 3 \times 4 = 720.

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Resolução comentada

Coloque a figura num sistema de coordenadas, com A em (0,0) e B em (5,5). Em cada linha horizontal da malha, a formiga chega por um segmento vertical, anda na horizontal (para a direita ou para a esquerda, sem repetir lado, ou seja, sempre no mesmo sentido) e desce por outro segmento vertical. Então basta contar, em cada nível, as saídas possíveis.

Nível y=0 (linha de x=0 a 3): a formiga entra em x=0 e pode descer em x=0,1,2,3. São 4 opções.
Nível y=1 (linha de x=0 a 3): a descida só existe em x=1,2,3. De qualquer entrada ela alcança as 3 saídas. Fator 3. Total até aqui: 4\cdot 3=12, e cada saída x=1,2,3 recebe 4 caminhos.
Nível y=2 (linha de x=1 a 6): as descidas existem em x=2,\dots,6. De qualquer entrada (1,2,3) ela alcança as 5 saídas. Fator 5. Total: 12\cdot5=60.
Nível y=3 (linha de x=2 a 6): as descidas existem em x=3,4,5. Toda entrada alcança as 3 saídas. Fator 3. Total: 60\cdot3=180.
Nível y=4 (linha de x=2 a 5): as descidas existem em x=2,3,4,5. As entradas (3,4,5) alcançam as 4 saídas. Fator 4. Total: 180\cdot4=720.
Nível y=5 (linha de x=2 a 5): de qualquer entrada, há um único caminho até B, andando na horizontal. Fator 1.

Total: 4\cdot3\cdot5\cdot3\cdot4=720.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor de 5!, sem ligação com a contagem por níveis; ignora as opções de saída em cada linha.
BPerde fatores de escolha em alguns níveis, como contar apenas 2 saídas onde há mais.
CErra o número de saídas de um dos níveis, resultando em 360 em vez de 720.
DTambém erra o número de saídas de um dos níveis, e o produto não dá 720.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗