Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

Qual dos números a seguir está mais próximo de (0{,}899^2 - 0{,}101^2) \times 0{,}5?

A
1
B
0,9
C
0,8
D
0,5
E
0,4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Qual dos números a seguir está mais próximo de (0{,}899^2 - 0{,}101^2) \times 0{,}5?

A
1
B
0,9
C
0,8
D
0,5
E
0,4

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Solução oficial da OBMEP

Vamos usar o símbolo \approx para indicar “aproximadamente igual a”; ou seja, x \approx y quer dizer que x é aproximadamente igual a y. Por exemplo,0{,}899 \approx 0{,}9 e 0{,}101 \approx 0{,}1 . Em geral, se em uma operação aritmética trocamos os números envolvidos por outros aproximadamente iguais a eles, o resultado da operação deve ser uma aproximação do que teríamos obtido com os números originais. No nosso caso, temos

(0{,}899^2 - 0{,}101^2) \times 0{,}5 \approx (0{,}9^2 - 0{,}1^2) \times 0{,}5 = (0{,}81 - 0{,}01) \times 0{,}5 = 0{,}8 \times 0{,}5 = 0{,}4\text{ .}

Outra maneira de resolver esta questão é usar a identidade a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) para escrever

\begin{aligned} (0{,}899^2 - 0{,}101^2) \times 0{,}5 &= (0{,}899 + 0{,}101)(0{,}899 - 0{,}101) \times 0{,}5 \\ &\approx (0{,}9 + 0{,}1) \times (0{,}9 - 0{,}1) \times 0{,}5 = 1 \times 0{,}8 \times 0{,}5 = 0{,}4 \end{aligned}

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Resolução comentada

Use a diferença de quadrados: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).

Aqui, a = 0{,}899 e b = 0{,}101.

Soma: a + b = 0{,}899 + 0{,}101 = 1{,}000.
Diferença: a - b = 0{,}899 - 0{,}101 = 0{,}798.
Produto: 0{,}798 \times 1 = 0{,}798.
Multiplicando por 0{,}5: 0{,}798 \times 0{,}5 = 0{,}399.

Agora compare 0{,}399 com as alternativas. Ele é praticamente 0{,}4, com diferença de apenas 0{,}001. As outras opções ficam muito mais longe: 0{,}5 está a 0{,}101 de distância, 0{,}8 está a 0{,}401, e assim por diante.

A fatoração evita calcular 0{,}899^2 e 0{,}101^2 separadamente, porque a soma dos dois números dá exatamente 1.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem para em 0{,}798 e esquece de multiplicar por 0{,}5.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece a diferença a-b e o fator 0{,}5, aproximando só a soma a+b=1.
BAproxima 0{,}899 para 0{,}9 e ignora o termo subtraído e o fator 0{,}5.
CCalcula (a-b)(a+b)=0{,}798\approx 0{,}8 mas esquece de multiplicar por 0{,}5.
DFica longe do valor 0{,}399; resulta de multiplicar 1 por 0{,}5 sem usar a diferença a-b.

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗