Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Cada potência 10^n é o algarismo 1 seguido de n zeros. Por exemplo, 10^3 = 1000 tem um único algarismo diferente de zero, o 1, na posição de ordem n (contando a partir do zero, da direita para a esquerda).

Ao somar potências de 10 com expoentes diferentes, cada uma ocupa uma posição diferente do número:

1. 10^{1500} coloca um 1 na posição 1500;
2. 10^{1792} coloca um 1 na posição 1792;
3. 10^{1822} coloca um 1 na posição 1822;
4. 10^{1888} coloca um 1 na posição 1888;
5. 10^{1889} coloca um 1 na posição 1889.

Como os expoentes são todos distintos, nenhuma posição recebe mais de um 1. Não há "vai um" e as somas não interferem entre si. O número resultante tem cinco algarismos 1 e todos os demais são zeros.

Logo, a soma dos algarismos é:

O erro comum é somar ou confundir os expoentes com algarismos, o que levaria a números enormes como 1889 ou 1890.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera só um algarismo 1, ignorando que há cinco potências em posições distintas.
• CConta dez algarismos 1, sem base nenhuma; cada potência contribui só com um 1.
• DConfunde o maior expoente (1889) com a soma dos algarismos.
• EUsa a quantidade de algarismos (1890 dígitos) como se fosse a soma deles.

Assuntos: Sistemas de numeração, Potenciação e radiciação.

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