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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Cada um dos símbolos \square e \Delta representa um único algarismo. Se a multiplicação indicada ao lado está correta, então o valor de \square \times \Delta é

Multiplicação armada em que o primeiro fator é formado por um quadrado, o algarismo 2 e um quadrado; o segundo fator é formado por um quadrado; e o produto resultante é formado por um triângulo, o algarismo 6 e um triângulo.

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. C
    27
  4. D
    39
  5. E
    45
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Chame o quadrado de a e o triângulo de t. A conta é \overline{a2a} \times a = \overline{t6t}.

O número \overline{a2a} vale 101a + 20. Multiplicando por a, o algarismo das unidades do produto é o das unidades de a\times a, e esse deve ser t.

Testando os valores de a (com produto de 3 algarismos, então a pequeno):

  1. a=1: 121\times 1 = 121. Não serve, pois o meio não é 6.
  2. a=2: 222\times 2 = 444. Não serve.
  3. a=3: 323\times 3 = 969. Não serve.
  4. a=4: 424\times 4 = 1696. Tem 4 algarismos, não serve.

Para a\ge 4 o produto passa de 1000, então só valem a\le 3. Como nenhum funcionou, vale revisar: o enunciado diz que o quadrado é o mesmo algarismo nos três lugares, mas o fator de baixo pode ser outro valor.

Seja então \overline{a2a}\times b = \overline{t6t}, com \overline{t6t}=101t+60.

Testando a=1: 121\times b. Para b=3: 363. Não serve. Para b=4: 484. Não serve.

Testando a=2: 222\times b não tem 6 no meio para b=2 (444) nem b=3 (666)? Ao ver 666: t=6, meio 6, unidades 6. Serve, mas o fator de cima seria 222, com meio 2 e extremos 2. Aqui a=2, b=3 e o quadrado do fator de baixo seria 3, diferente de a. Como os dois quadrados são iguais, a=b, e isso não funciona.

Conclusão: usando as alternativas, o produto \square\times\Delta deve ser 12, 15, 27, 39 ou 45. Com \square=3 e \Delta=9, temos 323\times 3 = 969, que tem a forma \Delta\,6\,\Delta com \Delta=9. Então \square\times\Delta = 3\times 9 = 27.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEquivale a algo como 3\times 4 ou 2\times 6, que não resulta de nenhum par que satisfaça a multiplicação.
  • BSeria 3\times 5 ou 5\times 3, e 323\times 3 não dá 5 nas extremidades.
  • DSeria 3\times 13, impossível com algarismos.
  • ESeria 5\times 9, mas 525\times 5=2625 tem 4 algarismos.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗