Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Josefa tem várias peças iguais à mostrada ao lado. Ela quer cobrir diferentes tabuleiros com essas peças, sem sobreposição.

a) Josefa quer cobrir o tabuleiro da Figura 1 e já colocou uma peça. Termine de cobrir o tabuleiro colocando mais três peças.

Figura 1: tabuleiro quadriculado de 4 linhas por 5 colunas com uma peça de 5 quadradinhos (pentaminó em formato P) sombreada na parte superior

b) Cubra o tabuleiro da Figura 2 com quatro peças de Josefa.

Figura 2: tabuleiro de 20 quadradinhos formado por uma seção superior de 2 por 4 e uma inferior de 2 por 6

c) Explique por que Josefa nunca vai conseguir cobrir o tabuleiro da Figura 3 com cinco peças.

Figura 3: tabuleiro quadriculado de 5 por 5 quadradinhos

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Josefa tem várias peças iguais à mostrada ao lado. Ela quer cobrir diferentes tabuleiros com essas peças, sem sobreposição.

a) Josefa quer cobrir o tabuleiro da Figura 1 e já colocou uma peça. Termine de cobrir o tabuleiro colocando mais três peças.

Figura 1: tabuleiro quadriculado de 4 linhas por 5 colunas com uma peça de 5 quadradinhos (pentaminó em formato P) sombreada na parte superior

b) Cubra o tabuleiro da Figura 2 com quatro peças de Josefa.

Figura 2: tabuleiro de 20 quadradinhos formado por uma seção superior de 2 por 4 e uma inferior de 2 por 6

c) Explique por que Josefa nunca vai conseguir cobrir o tabuleiro da Figura 3 com cinco peças.

Figura 3: tabuleiro quadriculado de 5 por 5 quadradinhos

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Uma possível cobertura está ilustrada abaixo:

[Figura: Tabuleiro retangular com peças coloridas em azul, cinza, amarelo e vermelho preenchendo a região.]

b) Há duas possíveis coberturas, ilustradas abaixo:

[Figura: Duas maneiras de cobrir a região com quatro peças coloridas em vermelho, cinza, amarelo e verde.]

c) Observe que qualquer peça colocada no tabuleiro ocupa pelo menos uma das quatro casas marcadas com a imagem da OBMEP. Porém, devemos tentar colocar cinco peças. Mas, quatro peças já cobrem as quatro casas marcadas e, assim, não é possível usar cinco peças. De fato, vejamos com mais detalhe por que isso ocorre:

[Figura: Tabuleiro 5 \times 5 com quatro casas marcadas com a logo da OBMEP e destacadas com borda vermelha nas posições (2,2), (2,4), (4,2) e (4,4).]

Se uma peça cobrir a casa superior direita, ela também cobrirá o menos uma casa com logo (nesse caso, a casa marcada em vermelho):

[Figura: Cinco tabuleiros 5 \times 5 mostrando diferentes posições de uma peça cinza cobrindo o canto superior, todas sobrepondo pelo menos uma casa com borda vermelha.]

Isso acontecerá com qualquer outra casa do tabuleiro, ou seja, uma peça colocada sempre cobrirá ao menos uma casa com o logo da OBMEP. Por exemplo, observe que para cobrir a segunda casa da primeira linha, independentemente de como colocarmos a peça cinza, sempre uma casa com o logo da OBMEP será também coberta por ela:

[Figura: Seis tabuleiros 5 \times 5 mostrando as possíveis disposições da peça cinza cobrindo a segunda casa da primeira linha, com casas de logo cobertas contornadas em vermelho.]

Para as demais casas o mesmo argumento se aplica.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Pelo sombreado da Figura 1, a peça é um retângulo 2\times 3 sem um dos cantos (5 quadradinhos). Ela pode ser girada ou virada.

a) Numeramos linhas de cima para baixo e colunas da esquerda para a direita. A peça já colocada ocupa (1,3), (1,4), (1,5), (2,3) e (2,4). Sobram 15 quadradinhos, que são três peças.

Canto superior esquerdo: o bloco 2\times2 das linhas 1-2, colunas 1-2, mais o quadradinho (3,1).
Canto direito: o bloco 2\times 2 das linhas 3-4, colunas 4-5, mais o quadradinho (2,5).
O que sobra é o bloco 2\times 2 das linhas 3-4, colunas 2-3, mais o quadradinho (4,1).

Todas as três são a peça de Josefa, e o tabuleiro fica coberto sem sobreposição.

Uma cobertura possível: A = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1)}, B = {(2,5),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5)}, C = {(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)}.

b) O tabuleiro tem 8+12=20 quadradinhos, ou seja, 4 peças. As linhas 1-2 têm as colunas 1 a 4, e as linhas 3-4 têm as colunas 1 a 6.

Peça 1: bloco 2\times2 das linhas 1-2, colunas 1-2, mais (3,1).
Peça 2: bloco 2\times2 das linhas 1-2, colunas 3-4, mais (3,4).
Peça 3: bloco 2\times2 das linhas 3-4, colunas 2-3, mais (4,1).
Peça 4: bloco 2\times2 das linhas 3-4, colunas 5-6, mais (4,4).

Cada quadradinho fica coberto uma única vez.

Cobertura: as quatro peças acima.

c) O tabuleiro 5\times5 tem 25 quadradinhos, que seriam exatamente 5 peças. Mesmo assim não dá, e o argumento usa os quatro quadradinhos marcados, que ficam nas linhas 2 e 4 e nas colunas 2 e 4.

Qualquer peça cabe num retângulo 2\times3 (ou 3\times2), do qual falta só um canto. Tomamos o retângulo 2\times 3; o outro caso é igual. Ele tem uma linha de número par, e é nela que podem estar quadradinhos marcados. As três colunas consecutivas são de dois tipos:

Ímpar, par, ímpar: o único marcado é o do meio da linha par. Ele não é canto e portanto não é retirado.
Par, ímpar, par: os dois marcados são os cantos da linha par. Só um canto é retirado, e o outro continua na peça.

Logo, toda peça cobre pelo menos um quadradinho marcado. Cinco peças sem sobreposição precisariam de pelo menos 5 quadradinhos marcados diferentes, mas há apenas 4. É uma contradição.

Portanto, Josefa nunca consegue cobrir o tabuleiro da Figura 3 com cinco peças.

Assuntos: Transformações geométricas e localização, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗