Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Uma academia possui vários equipamentos de ginástica para seus atletas. Uma pesquisa feita nessa academia mostrou que somente 8 em cada 14 atletas utilizam a bicicleta (8/14 do total de atletas). A pesquisa mostrou também que somente 20 em cada 42 atletas utilizam a esteira (20/42 do total de atletas).

Ilustração de uma sala de academia com bicicleta ergométrica, esteira, barra de pesos, anilhas, bolas e cordas de pular

a) Qual é a fração do total de atletas dessa academia que não utiliza a bicicleta?
E a fração do total de atletas que não utiliza a esteira?

b) Explique por que nessa academia há atletas que utilizam bicicleta e também esteira.

c) A pesquisa mostrou que todos os atletas que utilizam a esteira também utilizam a bicicleta. Ela mostrou ainda que somente 10 atletas utilizam a bicicleta, mas não a esteira. Quantos atletas não utilizam a bicicleta?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Uma academia possui vários equipamentos de ginástica para seus atletas. Uma pesquisa feita nessa academia mostrou que somente 8 em cada 14 atletas utilizam a bicicleta (8/14 do total de atletas). A pesquisa mostrou também que somente 20 em cada 42 atletas utilizam a esteira (20/42 do total de atletas).

Ilustração de uma sala de academia com bicicleta ergométrica, esteira, barra de pesos, anilhas, bolas e cordas de pular

a) Qual é a fração do total de atletas dessa academia que não utiliza a bicicleta?
E a fração do total de atletas que não utiliza a esteira?

b) Explique por que nessa academia há atletas que utilizam bicicleta e também esteira.

c) A pesquisa mostrou que todos os atletas que utilizam a esteira também utilizam a bicicleta. Ela mostrou ainda que somente 10 atletas utilizam a bicicleta, mas não a esteira. Quantos atletas não utilizam a bicicleta?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Não utilizam a bicicleta 6 em cada 14, ou seja, 6/14 = 1 - (8/14), que equivale a 3/7.
Não utilizam a esteira 22 em cada 42, ou seja, 22/42 = 1 - (20/42), que equivale a 11/21.

b) Porque (8/14) + (20/42) = 44/42 > 1.

Mais detalhadamente, se T é o número total de atletas, 8T/14 é o número dos que andam de bicicleta e 20T/42 é o número dos que andam na esteira. Caso não haja atletas que realizem ambas as atividades, (8T/14) + (20T/42) \le T, ou seja, 44T/42 \le T e, daí, 44 \le 42, uma contradição. Logo, há atletas que utilizam bicicleta e também esteira.

c) O uso de diagramas de Veen, como os apresentados abaixo, ajuda na argumentação.
A cada 42 pessoas, apenas 24 andam de bicicleta e 20 na esteira, ou seja, 24 - 20 = 4 só usam bicicleta enquanto que 42 - (8/14) \cdot 42 = 18 não andam de bicicleta; logo, a quantidade de pessoas que não andam de bicicleta é 18/4 da quantidade de pessoas que só utilizam bicicleta. O enunciado nos informa que 10 atletas utilizam bicicleta, mas não esteira. Logo, a quantidade de pessoas que não andam de bicicleta é 18/4 \times 10 = 45.

[Figura: Diagrama de Venn com um retângulo representando o total. Dentro dele, há uma elipse com o texto "Bicicleta e não esteira 4/42", a qual contém um círculo com o texto "Esteira 20/42". Na região do retângulo externa à elipse, consta a anotação "Não bicicleta 18/42".]

Outra solução (com rudimentos de álgebra)
Sejam T = número total de atletas,

E = atletas que andam de esteira.

De acordo com o enunciado, B - E = 10; logo, (B - E)/T = (10/T), portanto,

(B/T) - (E/T) = 10/ T
(8/14) - (20/42) = 10/T
(2/21) = 10/T; logo, T = 105

A quantidade dos que andam de bicicleta é B = (8/14) \cdot 105 = 60 e a quantidade dos que não andam de bicicleta é 105 - 60 = 45.

[Figura: Diagrama de Venn com um retângulo representando o universo, apontado por uma seta com a legenda "T = 105". Dentro do retângulo, há uma elipse apontada por uma seta com "B = 60", contendo um círculo interno com "E = 50" e a região restante da elipse com "B – E = 10". No canto inferior direito do retângulo, fora da elipse, aparece o valor 45.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Primeiro simplificamos as frações dadas.

Bicicleta: \frac{8}{14}=\frac{4}{7} dos atletas a utilizam. Quem não utiliza é o que falta para completar o total:

1-\frac{8}{14}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}

Esteira: \frac{20}{42}=\frac{10}{21} dos atletas a utilizam. Quem não utiliza:

1-\frac{20}{42}=\frac{22}{42}=\frac{11}{21}

Não utilizam a bicicleta: \frac{3}{7} dos atletas; não utilizam a esteira: \frac{11}{21} dos atletas.

b) Vamos somar as frações dos que usam cada equipamento, com denominador 42:

\frac{8}{14}+\frac{20}{42}=\frac{24}{42}+\frac{20}{42}=\frac{44}{42}>1

Se ninguém usasse os dois equipamentos, os grupos dos que usam a bicicleta e dos que usam a esteira seriam separados, e a soma das frações seria no máximo 1 (o total de atletas). Como a soma dá \frac{44}{42}, maior que 1, algumas pessoas foram contadas duas vezes. Essas pessoas utilizam bicicleta e esteira.

Como \frac{8}{14}+\frac{20}{42}=\frac{44}{42} é maior que 1, há atletas que utilizam os dois equipamentos.

c) Todos que usam a esteira também usam a bicicleta. Então os usuários da esteira fazem parte dos usuários da bicicleta, e os que usam só a bicicleta são a diferença entre os dois grupos.

Com denominador 21, a bicicleta é usada por \frac{12}{21} dos atletas e a esteira por \frac{10}{21}. A diferença é

\frac{12}{21}-\frac{10}{21}=\frac{2}{21}

do total, e isso corresponde a 10 atletas. Logo \frac{1}{21} do total são 5 atletas, e o total é 21\cdot 5=105 atletas.

Os que não usam a bicicleta são \frac{3}{7} de 105:

\frac{3}{7}\cdot 105=45

Conferindo: 60 usam a bicicleta (\frac{4}{7}\cdot105), 50 usam a esteira (\frac{10}{21}\cdot105), e 60-50=10 usam só a bicicleta, como diz o enunciado.

45 atletas não utilizam a bicicleta.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗