Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Em cada uma das figuras abaixo, os círculos devem ser preenchidos com os números de 1 a 8, um número em cada círculo, sem repetição, de modo que as igualdades (na horizontal e na vertical) sejam verdadeiras.

a) Termine de preencher os círculos da figura abaixo.

Esquema com círculos e operadores matemáticos. Na horizontal inferior: círculo em branco mais círculo central mais círculo com o número 4 igual a círculo com o número 7. Na vertical: primeiro círculo da horizontal superior menos o círculo central igual a um círculo em branco. Na horizontal superior: círculo em branco menos círculo em branco igual a círculo em branco.

b) Termine de preencher os círculos de cada uma das figuras abaixo.

Esquema similar ao anterior; na horizontal inferior, a soma de dois círculos em branco com o número 4 resulta em 8.

c) Explique por que não é possível terminar de preencher os círculos da figura abaixo.

Esquema similar aos anteriores; na horizontal inferior, a soma de três círculos em branco resulta no número 6.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Em cada uma das figuras abaixo, os círculos devem ser preenchidos com os números de 1 a 8, um número em cada círculo, sem repetição, de modo que as igualdades (na horizontal e na vertical) sejam verdadeiras.

a) Termine de preencher os círculos da figura abaixo.

Esquema com círculos e operadores matemáticos. Na horizontal inferior: círculo em branco mais círculo central mais círculo com o número 4 igual a círculo com o número 7. Na vertical: primeiro círculo da horizontal superior menos o círculo central igual a um círculo em branco. Na horizontal superior: círculo em branco menos círculo em branco igual a círculo em branco.

b) Termine de preencher os círculos de cada uma das figuras abaixo.

Esquema similar ao anterior; na horizontal inferior, a soma de dois círculos em branco com o número 4 resulta em 8.

c) Explique por que não é possível terminar de preencher os círculos da figura abaixo.

Esquema similar aos anteriores; na horizontal inferior, a soma de três círculos em branco resulta no número 6.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

[Figura: Esquema de operações com círculos interligados: na linha superior, 8 − 3 = 5; na linha inferior, 1 + 2 + 4 = 7; na coluna vertical compartilhando o 2, 8 − 2 = 6.] ou [Figura: Esquema de operações com círculos interligados: na linha superior, 8 − 5 = 3; na linha inferior, 1 + 2 + 4 = 7; na coluna vertical compartilhando o 2, 8 − 2 = 6.]

b) Primeiro preenchimento:

[Figura: Esquema de operações: na linha superior, 7 − 2 = 5; na linha inferior, 3 + 1 + 4 = 8; na coluna vertical compartilhando o 1, 7 − 1 = 6.] ou [Figura: Esquema de operações: na linha superior, 7 − 5 = 2; na linha inferior, 3 + 1 + 4 = 8; na coluna vertical compartilhando o 1, 7 − 1 = 6.]

c) Segundo preenchimento:

[Figura: Esquema de operações: na linha superior, 7 − 4 = 3; na linha inferior, 2 + 1 + 5 = 8; na coluna vertical compartilhando o 1, 7 − 1 = 6.] ou [Figura: Esquema de operações: na linha superior, 7 − 3 = 4; na linha inferior, 2 + 1 + 5 = 8; na coluna vertical compartilhando o 1, 7 − 1 = 6.]

c) Os 3 círculos vazios da segunda linha deverão ser preenchidos, em alguma ordem, pelos números 1, 2 e 3. Portanto, os números dos círculos vazios da primeira linha serão escolhidos entre \{4, 5, 7, 8\}; mas, nesse conjunto, não há 3 elementos tais que a subtração de dois deles resulte no terceiro, diferente das parcelas. Logo, o preenchimento é impossível.

Variação da argumentação da solução: Nos itens a) e b) observa-se que quando o círculo A está preenchido, o maior dos números ainda não utilizado deve ser colocado no círculo B para tornar as subtrações possíveis. Então, no círculo B deve ser colocado o número 8. Na segunda linha devem aparecer os algarismos 1, 2 e 3 em alguma ordem; com isso, restam os números 4, 5 e 7 para serem colocados nos círculos que restam.

[Figura: Esquema de operações com círculos interligados. Na linha superior, o círculo à esquerda é identificado pela letra B e contém o número 8, seguido por subtração e igualdade com círculos vazios. Na linha inferior, três círculos vazios somados resultam no círculo à direita identificado pela letra A contendo o número 6. A coluna vertical liga o círculo B ao segundo círculo da linha inferior com uma subtração, e desse resulta em um círculo vazio abaixo após a igualdade.]

Portanto, as subtrações 8 - 7 = 1, 8 - 5 = 3 na primeira linha são inviáveis. Como 8 - 4 = 4, precisaríamos de dois números 4 para tornar verdadeira a igualdade da primeira linha. Logo, não é possível completar o preenchimento.

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Resolução comentada

Chame de A, B, C os círculos da linha de cima (A-B=C), de L, M, R os três da linha do meio (da esquerda para a direita), de S o resultado dessa linha e de E o círculo de baixo. O círculo M é o do centro, e a coluna dá A-M=E. A linha do meio dá L+M+R=S.

a) Aqui L+M+4=7, então L+M=3. Com números distintos, só pode ser \{L,M\}=\{1,2\}.

Sobram 3,5,6,8 para A,B,C,E. Em A-B=C, as únicas possibilidades com esses números são 8-3=5 e 8-5=3. Logo A=8 e \{B,C\}=\{3,5\}, e E=6.

Como A-M=E, temos 8-M=6, então M=2 e L=1.

Preenchimento: L=1, M=2, A=8, E=6, e B e C são 3 e 5 em qualquer ordem (por exemplo 8-3=5).

b) Figura com 4 e 8: L+M+4=8, então L+M=4. Como 2+2 não vale, \{L,M\}=\{1,3\}.

Sobram 2,5,6,7. Em A-B=C só servem 7-5=2 e 7-2=5. Logo A=7, \{B,C\}=\{2,5\} e E=6.

De 7-M=6 vem M=1, então L=3.

Figura com 5 e 8: L+M+5=8, então L+M=3 e \{L,M\}=\{1,2\}.

Sobram 3,4,6,7. Em A-B=C só servem 7-3=4 e 7-4=3. Logo A=7, \{B,C\}=\{3,4\} e E=6.

De 7-M=6 vem M=1, então L=2.

Figura com 4 e 8: L=3, M=1, A=7, E=6, e B e C são 2 e 5 em qualquer ordem. Figura com 5 e 8: L=2, M=1, A=7, E=6, e B e C são 3 e 4 em qualquer ordem.

c) Aqui L+M+R=6 com três números distintos de 1 a 8. A menor soma possível de três números distintos é 1+2+3=6, então \{L,M,R\}=\{1,2,3\}.

Sobram 4,5,7,8 para A,B,C,E. Em A-B=C os três números devem estar nesse conjunto. A diferença entre dois deles é no máximo 8-4=4, e as diferenças possíveis são 1,2,3,4. Só 4 pertence ao conjunto, e ele vem de 8-4=4, que repete o 4.

Não existe A-B=C com números distintos entre 4,5,7,8, então a figura não pode ser preenchida.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗