Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Question

Duas formigas caminham sobre as linhas do quadriculado da figura. No mesmo instante, uma parte do ponto A e a outra, do ponto B. A velocidade da formiga que parte de B é dois terços da velocidade da formiga que parte de A. A formiga que parte de A sempre caminha para a direita ou para cima, e a formiga que parte de B sempre caminha para a esquerda ou para baixo. Cada vez que uma delas têm duas direções para prosseguir, essas direções têm probabilidade 1/2 de ser escolhida. Por exemplo, a probabilidade de que a formiga que parte de A siga o caminho indicado na figura é (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/16, pois ela tem que fazer 4 escolhas de direções.

Quadriculado 3 por 3 com os pontos A e B nos vértices opostos e um caminho destacado em vermelho partindo de A

a) Qual é a probabilidade de que a formiga que parte de A passe pelo lado do quadriculado marcado com X?

Quadriculado 3 por 3 com o ponto A no canto inferior esquerdo, o ponto B no canto superior direito e um X vermelho sobre o segmento vertical central da primeira linha vertical interna

b) Marque abaixo, com um X, os lados do quadriculado onde as formigas podem se encontrar.

Quadriculado 3 por 3 com os pontos A no canto inferior esquerdo e B no canto superior direito

c) Qual é a probabilidade de que as formigas se encontrem?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Duas formigas caminham sobre as linhas do quadriculado da figura. No mesmo instante, uma parte do ponto A e a outra, do ponto B. A velocidade da formiga que parte de B é dois terços da velocidade da formiga que parte de A. A formiga que parte de A sempre caminha para a direita ou para cima, e a formiga que parte de B sempre caminha para a esquerda ou para baixo. Cada vez que uma delas têm duas direções para prosseguir, essas direções têm probabilidade 1/2 de ser escolhida. Por exemplo, a probabilidade de que a formiga que parte de A siga o caminho indicado na figura é (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/16, pois ela tem que fazer 4 escolhas de direções.

Quadriculado 3 por 3 com os pontos A e B nos vértices opostos e um caminho destacado em vermelho partindo de A

a) Qual é a probabilidade de que a formiga que parte de A passe pelo lado do quadriculado marcado com X?

Quadriculado 3 por 3 com o ponto A no canto inferior esquerdo, o ponto B no canto superior direito e um X vermelho sobre o segmento vertical central da primeira linha vertical interna

b) Marque abaixo, com um X, os lados do quadriculado onde as formigas podem se encontrar.

Quadriculado 3 por 3 com os pontos A no canto inferior esquerdo e B no canto superior direito

c) Qual é a probabilidade de que as formigas se encontrem?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item a) Vamos chamar de formiga A a formiga que parte de A e de formiga B a que parte de B. Para que a formiga A passe pelo lado indicado, ela deve fazer um dos dois caminhos abaixo.

[Figura: Dois grids 3x3 mostrando os caminhos que partem de A e chegam ao segmento vertical marcado com X vermelho.]

Em cada um desses caminhos, ela tem que fazer 3 escolhas de direções. Logo, cada um desses caminhos tem probabilidade \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}. Portanto, a probabilidade de que ela passe pelo lado indicado é \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.

Item b) Cada formiga percorre 6 segmentos em seu percurso. Como a velocidade de B é \frac{2}{3} da velocidade de A, enquanto a formiga A percorre uma distância x, a outra percorre \frac{2}{3}x. Quando elas se encontram, a soma das distâncias percorridas deve ser igual aos 6 segmentos que as separam. Ou seja, temos x + \frac{2}{3}x = 6. Daí, obtemos x = \frac{18}{5} = 3{,}6. Logo, ao se encontrar, a formiga A percorreu 3,6 segmentos e a formiga B, 2,4 segmentos. Portanto, os segmentos em que elas podem se encontrar são os que correspondem ao 4º segmento em um caminho percorrido pela formiga A e ao 3º segmento em um caminho percorrido pela formiga B. Esses segmentos estão assinalados na figura.

[Figura: Grid 3x3 com pontos A e B nos vértices opostos e os seis segmentos possíveis de encontro marcados com X vermelho.]

acima (somaremos tudo no final). Para isso, basta calcular a probabilidade de que cada formiga percorra esse segmento e multiplicar os resultados.

Para que elas se encontrem no segmento indicado ao lado, A e B precisam percorrer os caminhos indicado em azul e verde, respectivamente. Como cada formiga faz 3 escolhas de direção, a probabilidade de que cada uma delas percorra esses caminhos é igual a \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}. Logo, a probabilidade de que ambas percorram o segmento indicado é \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{64}.

[Figura: Grid 3x3 com caminho de A em azul e caminho de B em verde encontrando-se no segmento superior esquerdo marcado com X vermelho.]

Para que elas se encontrem no segmento indicado ao lado, A tem 3 possibilidades de caminho, indicados em azul, ao longo dos quais ela faz 4 escolhas de direção. Logo, a probabilidade de que ela percorra cada um desses caminhos é \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} e a probabilidade de que ela passe pelo segmento indicado ao lado é 3 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{16}. Já a formiga B precisa percorrer o caminho indicado em verde, ao longo do qual ela faz 3 escolhas de direção. Logo, a probabilidade de que B passe pelo segmento indicado é \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}. Portanto, a probabilidade de que as formigas se encontrem no segmento indicado ao lado é \frac{3}{16} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{128}.

[Figura: Grid 3x3 com três opções de caminho azul para A e um caminho verde para B encontrando-se em um segmento vertical com X vermelho.]

A probabilidade de que A passe pelo segmento indicado ao lado é a mesma de passar pelo segmento anterior, ou seja, igual a \frac{3}{16} (3 caminhos possíveis, com probabilidade \frac{1}{16} cada). Já a formiga B precisa percorrer um dos dois caminhos indicados em verde, ao longo dos quais ela faz 3 escolhas de direção. Logo, a probabilidade de que B passe por esse segmento é \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{4} e a probabilidade de que elas se encontrem sobre o segmento indicado é \frac{3}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{64}.

[Figura: Grid 3x3 com três opções de caminho azul para A e dois caminhos verdes para B encontrando-se em um segmento horizontal com X vermelho.]

Por simetria, a probabilidade de encontro nos outros três segmentos é igual à calculada acima para o segmento respectivamente simétrico em relação à diagonal AB. Logo, a probabilidade de que as formigas se encontrem é

2\left(\frac{1}{64} + \frac{3}{128} + \frac{3}{64}\right) = \frac{11}{64}

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Resolução comentada

Use coordenadas com A=(0,0) e B=(3,3). Cada lado do quadriculado tem comprimento 1. Chamo de nível de um ponto o valor x+y.

a) O X está no segmento vertical de (1,1) a (1,2). A formiga de A só passa por ele se chegar a (1,1) e, de lá, subir.

Para chegar a (1,1) há 2 caminhos, A\to(1,0)\to(1,1) e A\to(0,1)\to(1,1). Em cada um ela faz 2 escolhas, então cada caminho tem probabilidade \frac14. Logo P(\text{chegar a }(1,1))=\frac12.

Em (1,1) ela escolhe subir com probabilidade \frac12:

\frac12\cdot\frac12=\frac14.

Resposta: \dfrac14.

b) Seja 3v a velocidade de A e 2v a de B. Depois de um tempo t, A percorreu 3vt e está no nível 3vt. B percorreu 2vt e está no nível 6-2vt.

Para estarem no mesmo ponto, os níveis devem ser iguais: 3vt=6-2vt, ou seja, vt=\frac65.

Nesse instante A percorreu 3{,}6 lados e está no nível 3{,}6. B percorreu 2{,}4 lados e também está no nível 3{,}6. Esse nível não é inteiro, então o encontro acontece no meio de um lado, entre os níveis 3 e 4. O encontro só ocorre se as duas formigas estiverem percorrendo o mesmo lado, em sentidos opostos.

Os lados entre os níveis 3 e 4 são 6:

(0,3)-(1,3)
(1,2)-(1,3)
(1,2)-(2,2)
(2,1)-(2,2)
(2,1)-(3,1)
(3,0)-(3,1)

Os X vão nesses 6 lados. São os dois lados horizontais e os dois verticais da "escada" central, mais o lado horizontal do topo à esquerda e o vertical da base à direita.

Resposta: X nos 6 lados listados acima.

c) As escolhas das formigas são independentes. A probabilidade de encontro é a soma, sobre os 6 lados, de P(A\text{ usa o lado})\cdot P(B\text{ usa o lado}).

Formiga A. Probabilidade de chegar aos pontos do nível 3: (3,0) e (0,3) valem \frac18, e (2,1) e (1,2) valem \frac38. Os pontos (3,0) e (0,3) estão na borda e só têm uma saída. Os pontos (2,1) e (1,2) têm duas saídas, cada uma com \frac12. Assim, para A:

(0,3)-(1,3): \frac18
(1,2)-(1,3): \frac3{16}
(1,2)-(2,2): \frac3{16}
(2,1)-(2,2): \frac3{16}
(2,1)-(3,1): \frac3{16}
(3,0)-(3,1): \frac18

Formiga B. Por simetria (rotação de 180^\circ), a probabilidade de B usar um lado entre os níveis 4 e 3 é a de A usar o lado correspondente entre os níveis 2 e 3. Para A, os pontos do nível 2 são (2,0) e (0,2) com \frac14 e (1,1) com \frac12. Cada um tem duas saídas. Para B:

(0,3)-(1,3): \frac18
(1,2)-(1,3): \frac18
(1,2)-(2,2): \frac14
(2,1)-(2,2): \frac14
(2,1)-(3,1): \frac18
(3,0)-(3,1): \frac18

Multiplicando lado a lado e somando, em 128avos:

\frac{1}{64}+\frac{3}{128}+\frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{3}{128}+\frac{1}{64}=\frac{2+3+6+6+3+2}{128}=\frac{22}{128}=\frac{11}{64}.

Resposta: \dfrac{11}{64}.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗