Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Question

Um hexágono regular ABCDEF tem lados de medida 1. Um ponto P desloca-se na borda do hexágono, a partir do vértice B, passando pelos vértices C, D e E até chegar ao vértice F. Seja x a distância percorrida pelo ponto P e seja f(x) a área da região com vértices em P, A e outros vértices do hexágono pelos quais P já passou. A figura mostra algumas dessas regiões.

Dois hexágonos regulares ABCDEF ilustrando o deslocamento do ponto P: no superior, P está no segmento BC a uma distância x de B, delimitando o triângulo cinza ABP de área f(x); no inferior, P está no segmento EF após percorrer uma trajetória indicada em vermelho passando por B, C, D e E, delimitando a região sombreada cinza ABCDEP de área f(x).

a) Calcule f(1).

b) Determine a expressão de f(x) quando P se desloca no lado DE.

c) Esboce abaixo o gráfico de f.

Plano cartesiano com eixo horizontal x e marcações 1, 2, 3 e 4, e eixo vertical f(x) com marcações em raiz de 3 e 2 raiz de 3 sobre uma malha de linhas pontilhadas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Função afim

Um hexágono regular ABCDEF tem lados de medida 1. Um ponto P desloca-se na borda do hexágono, a partir do vértice B, passando pelos vértices C, D e E até chegar ao vértice F. Seja x a distância percorrida pelo ponto P e seja f(x) a área da região com vértices em P, A e outros vértices do hexágono pelos quais P já passou. A figura mostra algumas dessas regiões.

Dois hexágonos regulares ABCDEF ilustrando o deslocamento do ponto P: no superior, P está no segmento BC a uma distância x de B, delimitando o triângulo cinza ABP de área f(x); no inferior, P está no segmento EF após percorrer uma trajetória indicada em vermelho passando por B, C, D e E, delimitando a região sombreada cinza ABCDEP de área f(x).

a) Calcule f(1).

b) Determine a expressão de f(x) quando P se desloca no lado DE.

c) Esboce abaixo o gráfico de f.

Plano cartesiano com eixo horizontal x e marcações 1, 2, 3 e 4, e eixo vertical f(x) com marcações em raiz de 3 e 2 raiz de 3 sobre uma malha de linhas pontilhadas.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Se x = 1 então o ponto P coincide com o vértice C do hexágono. A região com vértices em A, P e outros vértices do hexágono pelos quais o ponto P passou é o triângulo ABC. No hexágono regular de lado 1 da figura, O é o centro e BC um dos lados. Assim o triângulo com vértices em O, B e C é equilátero e sua área é igual a \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}. O triângulo OBC tem a mesma área que o triângulo ABC, pois M é o ponto médio de OB, logo os triângulos OMP, BMP e BMA são congruentes (caso LLL de congruência). Assim, a área da região escura é igual a \frac{\sqrt{3}}{4}, ou seja, f(1) = \frac{\sqrt{3}}{4}.

b) Quando P se desloca sobre o lado DE, ele já passou pelos lados BC e CD. Logo DP = x - 2. A área do polígono ABCDP é igual 3 vezes a área do triângulo OBC mais a área do triângulo ADP. A altura desse triângulo relativa à base DP é EA = AC = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} e a área do triângulo ADP é igual a \frac{(x - 2)\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{3}. Assim, f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{4}.

intervalos [0,1], [1,2], [2,3] e [3,4], quando P se desloca, a área do triângulo com vértices P, A e o vértice Y anterior do hexágono pelo qual P passou varia linearmente com a distância PY (base do triângulo), já que a altura desses triângulos em cada intervalo é constante. Portanto, o gráfico da função f no intervalo [0,4] é composto de segmentos de reta com extremidades nos pontos (x, f(x)) identificados acima. Logo, o gráfico tem o aspecto

[Figura: Gráfico da função f(x) no plano cartesiano para x no intervalo de 0 a 4. O eixo horizontal indica valores de 1 a 4, e o eixo vertical indica as áreas: raiz de 3 sobre 4, 3 raiz de 3 sobre 4, raiz de 3 (em vermelho), 5 raiz de 3 sobre 4, 6 raiz de 3 sobre 4 e 2 raiz de 3 (em vermelho). O gráfico é formado por quatro segmentos de reta contínuos iniciando na origem (0,0) até (1, raiz de 3 sobre 4), deste até (2, 3 raiz de 3 sobre 4), deste até (3, 5 raiz de 3 sobre 4) e deste até (4, 6 raiz de 3 sobre 4).]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Coloque o hexágono com lado 1. Como cada lado mede 1, o ponto P está em B para x=0, em C para x=1, em D para x=2, em E para x=3 e em F para x=4.

a) Para x=1, P coincide com C, e a região é o triângulo ABC. Ele tem AB=BC=1 e ângulo \hat B=120^\circ (ângulo interno do hexágono regular). Logo:

f(1)=\frac12\cdot 1\cdot 1\cdot \sen 120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}.

f(1)=\dfrac{\sqrt3}{4}

b) Com P em DE, temos 2\le x\le 3 e DP=x-2. A região é o quadrilátero ABCD mais o triângulo ADP.

No triângulo ABC, AC=\sqrt3 (lei dos cossenos) e \hat{ACB}=30^\circ. Então \hat{ACD}=120^\circ-30^\circ=90^\circ.
O triângulo ACD é retângulo em C, com catetos \sqrt3 e 1. Sua área é \frac{\sqrt3}{2}, e AD=2.
Assim, [ABCD]=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}, que é metade do hexágono.
No triângulo ACD, \hat{ADC}=60^\circ. Como \hat{CDE}=120^\circ, temos \hat{ADE}=60^\circ.
Então [ADP]=\frac12\cdot 2\cdot (x-2)\cdot \sen 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}(x-2).

Somando:

f(x)=\frac{3\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{2}(x-2)=\frac{\sqrt3\,(2x-1)}{4}.

Conferência: em x=3, f=\frac{5\sqrt3}{4}, que é a área do hexágono (\frac{3\sqrt3}{2}) menos o triângulo AEF (\frac{\sqrt3}{4}). Confere.

f(x)=\dfrac{\sqrt3(2x-1)}{4}, para 2\le x\le3

c) Falta obter f nos outros trechos.

0\le x\le1: o triângulo ABP tem AB=1, BP=x e ângulo 120^\circ. Logo f(x)=\frac{\sqrt3}{4}x.
1\le x\le2: a região é ABC mais o triângulo ACP, retângulo em C, com catetos \sqrt3 e x-1. Logo f(x)=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{2}(x-1)=\frac{\sqrt3(2x-1)}{4}, a mesma expressão do item (b).
3\le x\le4: a região é o hexágono menos o triângulo AFP, com FP=4-x. Logo f(x)=\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3(4-x)}{4}=\frac{\sqrt3(x+2)}{4}.

O gráfico é formado por três segmentos de reta ligados. Na malha, cada linha horizontal vale \frac{\sqrt3}{4}:

De (0,0) a \left(1,\frac{\sqrt3}{4}\right), com inclinação \frac{\sqrt3}{4}.
De \left(1,\frac{\sqrt3}{4}\right) a \left(3,\frac{5\sqrt3}{4}\right), com inclinação \frac{\sqrt3}{2}. Passa por \left(2,\frac{3\sqrt3}{4}\right).
De \left(3,\frac{5\sqrt3}{4}\right) a \left(4,\frac{3\sqrt3}{2}\right), com inclinação \frac{\sqrt3}{4}.

Gráfico: poligonal com vértices em (0,0), (1,\frac{\sqrt3}{4}), (3,\frac{5\sqrt3}{4}) e (4,\frac{3\sqrt3}{2}).

Assuntos: Função afim, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗