Um adesivo, na forma de triângulo retângulo, será colado sobre a superfície lateral de uma lata cilíndrica, com um dos catetos coincidindo com a altura da lata, como na figura. A altura da lata é 15\ \text{cm} e o comprimento da circunferência da base é 12\ \text{cm}.
a) Se os catetos do triângulo medem 15\ \text{cm} e 10\ \text{cm}, qual será a área da superfície lateral da lata não coberta pelo adesivo?
b) Se os catetos do triângulo medem 15\ \text{cm} e 60\ \text{cm}, o adesivo poderá ser enrolado cinco vezes sobre a lata. Qual será a área da superfície lateral da lata não coberta pelo adesivo?
c) Se um adesivo de catetos 15 e 90\ \text{cm} for completamente enrolado no cilindro, qual será a área da superfície lateral da lata coberta por exatamente três camadas desse adesivo?
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Resolução comentada
Desenrolando a superfície lateral da lata, obtemos um retângulo de 12\ \text{cm} (circunferência) por 15\ \text{cm} (altura), de área 12\cdot 15 = 180\ \text{cm}^2.
a) O cateto de 10\ \text{cm} dá a volta na lata por uma distância menor que 12\ \text{cm}, então o adesivo não chega a dar uma volta completa e não se sobrepõe. Ele cobre uma área igual à do triângulo:
\frac{15\cdot 10}{2}=75\ \text{cm}^2.
Área não coberta: 180-75=105\ \text{cm}^2.
105 cm²
b) Agora o cateto de 60\ \text{cm} dá 60/12=5 voltas. Usando o retângulo desenrolado, o adesivo tem altura 15\ \text{cm} na posição x=0 e altura 15-\frac{x}{4} na posição x, com 0\le x\le 60.
As voltas se sobrepõem. Numa posição t da circunferência (0\le t<12), as alturas das 5 camadas são 15-\frac{t}{4}-3k, com k=0,\dots,4. A maior delas é a da primeira volta, 15-\frac t4. Como as camadas partem da base e se sobrepõem, a parte coberta tem essa altura. Isso equivale a um triângulo retângulo de catetos 12 e 15 sobre a lata, com área
\frac{12\cdot 15}{2}=90\ \text{cm}^2,
que é o que deveríamos ter no total de uma camada. Mas o cálculo preciso, integrando a altura coberta, é
Na figura, a parte descoberta é o triângulo de catetos 12 e 3 no topo, com área \frac{12\cdot 3}{2}=18\ \text{cm}^2.
Área não coberta: 180-162=18\ \text{cm}^2.
18 cm²
c) O cateto de 90\ \text{cm} dá 90/12=7{,}5 voltas. Na posição x do adesivo, a altura é 15-\frac{x}{6}. Numa posição t da circunferência, as camadas k=0,1,2,\dots têm alturas 15-\frac t6-2k, cada uma 2\ \text{cm} menor que a anterior.
Um ponto de altura y tem exatamente 3 camadas quando as camadas k=0,1,2 o alcançam e a k=3 não:
Para todo t entre 0 e 12, essa faixa fica entre 7 e 11, dentro da lata, e as camadas k=0,1,2,3 existem em todas as posições. A faixa tem sempre 2\ \text{cm} de altura, em toda a circunferência de 12\ \text{cm}:
