Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Resolução comentada

a) A régua tem uma marcação a cada milímetro. As grandes ficam nos múltiplos de 10 mm, as médias em 5, 15, 25, ... mm e as pequenas nas demais posições.

Em cada centímetro há 8 marcações pequenas, nas posições 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9 mm. Entre 0 e 10 mm estão as 8 primeiras. Depois vêm a 9ª em 11 mm, a 10ª em 12 mm e a 11ª em 13 mm.

As marcações médias estão em 5 mm, 15 mm e 25 mm. Logo, a 3ª marcação média está em 25 mm.

A distância é 25-13=12 mm.

Resposta: 12 mm.

b) A régua vai de 0 a 300 mm, ou seja, tem 30 centímetros completos. Cada centímetro tem 8 marcações pequenas, e a marcação em 300 mm é grande, então não entra na conta.

Resposta: 240 marcações pequenas.

c) Primeiro vamos achar a posição da 215ª marcação pequena. Dividindo, 215=8\times 26+7. Então os 26 primeiros centímetros (0 a 260 mm) contêm 26\times 8=208 marcações pequenas.

Faltam 7 marcações, que estão no 27º centímetro, depois de 260 mm. As pequenas desse centímetro estão em 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8 mm a partir de 260 mm. A 7ª está em 260+8=268 mm.

Agora procuramos a marcação a 73 mm dela:

• Para a direita: 268+73=341 mm, que passa dos 300 mm da régua e não existe.
• Para a esquerda: 268-73=195 mm.

Em 195 mm, que termina em 5, a marcação é média. As médias estão em 5, 15, 25, ..., 195, e há \frac{195-5}{10}+1=20 delas até aí. Portanto é a 20ª marcação média, em 19,5 cm.

Resposta: a 20ª marcação média, na posição 195 mm (19,5 cm).

Assuntos: Sequências e padrões, Unidades de medida e conversões.

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