Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

No tabuleiro cada letra da palavra OBMEP representa um número inteiro de 1 a 5. Letras diferentes representam números diferentes. Além disso, cada número escrito na lateral do tabuleiro é a soma dos números da linha horizontal correspondente.

O	O	O	O	4
B	B	O	B	7
M	E	B	O	10
E	P	O	B	12

a) Encontre o valor da letra O.

b) Encontre o valor da letra B.

c) Encontre o valor da letra M.

d) Qual é a letra que representa o número 5?

Answer 1

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Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

No tabuleiro cada letra da palavra OBMEP representa um número inteiro de 1 a 5. Letras diferentes representam números diferentes. Além disso, cada número escrito na lateral do tabuleiro é a soma dos números da linha horizontal correspondente.

O	O	O	O	4
B	B	O	B	7
M	E	B	O	10
E	P	O	B	12

a) Encontre o valor da letra O.

b) Encontre o valor da letra B.

c) Encontre o valor da letra M.

d) Qual é a letra que representa o número 5?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Somando os valores da primeira linha, temos que \text{O} + \text{O} + \text{O} + \text{O} = 4. Portanto, \text{O} = 1.

b) Somando os valores da segunda linha, temos que \text{B} + \text{B} + \text{O} + \text{B} = 7. Como \text{O} = 1, então \text{B} + \text{B} + \text{B} = 6. Logo, \text{B} = 2.

c) Somando os valores da última linha, temos que \text{E} + \text{P} + \text{O} + \text{B} = 12.

Por outro lado, as letras O, B, M, E e P representam, em alguma ordem, os números 1, 2, 3, 4 e 5. Portanto, \text{O} + \text{B} + \text{M} + \text{E} + \text{P} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Assim,

15 = \text{O} + \text{B} + \text{M} + \text{E} + \text{P} = (\text{E} + \text{P} + \text{O} + \text{B}) + \text{M} = 12 + \text{M};

logo, 12 + \text{M} = 15. Portanto, \text{M} = 15 - 12 = 3.

d) Somando os valores da terceira linha, temos que \text{M} + \text{E} + \text{B} + \text{O} = 10. Como \text{O} = 1, \text{B} = 2 e \text{M} = 3, substituindo esses valores, encontramos \text{E} = 4. Portanto, \text{P} = 5, pois é a última letra que ainda não foi encontrado seu valor (pode-se também usar a quarta linha para se calcular P).

Outra solução: Já temos \text{O} = 1 e \text{B} = 2; da terceira linha segue \text{M} + \text{E} = 7 e da quarta, \text{E} + \text{P} = 9. Como M, E, P representam 3, 4, 5, a única possibilidade é \text{M} = 3, \text{E} = 4 e \text{P} = 5, isso responde c) e d).

O	O	O	O	4
B	B	O	B	7
M	E	B	O	10
E	P	O	B	12

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Resolução comentada

a) A primeira linha tem quatro letras O e soma 4:

4\cdot O = 4 \Rightarrow O = 1.

O valor de O é 1.

b) A segunda linha tem três letras B e um O, com soma 7. Como O=1:

3B + 1 = 7 \Rightarrow 3B = 6 \Rightarrow B = 2.

O valor de B é 2.

c) Na terceira linha, M + E + B + O = 10. Com B=2 e O=1:

M + E = 10 - 3 = 7.

M e E são diferentes de O e de B, então valem números de \{3,4,5\}. A única soma 7 com dois desses números distintos é 3+4 (pois 3+5=8 e 4+5=9). Logo M e E são 3 e 4, e sobra o 5 para P.

Na quarta linha, E + P + O + B = 12:

E + 5 + 1 + 2 = 12 \Rightarrow E = 4.

Então M = 7 - 4 = 3.

O valor de M é 3.

d) Os valores são O=1, B=2, M=3 e E=4. O número 5 que sobrou é de P.

A letra que representa o 5 é P.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗