Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Mariana tem um jogo de 15 pinos, sendo 5 pretos, 5 brancos e 5 cinzas. Pinos de mesma cor valem o mesmo número de pontos. A pontuação obtida em uma jogada é a soma dos pontos correspondentes aos pinos derrubados. Em uma jogada, Mariana fez 10 pontos ao derrubar dois pinos pretos. Em outra jogada, ela fez 12 pontos ao derrubar um pino preto e um branco. Numa terceira jogada, Mariana fez 55 pontos ao derrubar três pinos pretos, um branco e três cinzas.

Mariana na pista de boliche segurando uma bola

Três conjuntos de pinos indicando as jogadas e respectivas pontuações: 10 pontos para 2 pinos pretos derrubados; 12 pontos para 1 pino preto e 1 branco derrubados; 55 pontos para 3 pretos, 1 branco e 3 cinzas derrubados

a) Quantos pontos vale cada pino preto?

b) Quantos pontos vale cada pino cinza?

c) Mariana fez 42 pontos em uma jogada ao derrubar pelo menos um pino de cada cor. Quantos pinos de cada cor ela derrubou?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Mariana tem um jogo de 15 pinos, sendo 5 pretos, 5 brancos e 5 cinzas. Pinos de mesma cor valem o mesmo número de pontos. A pontuação obtida em uma jogada é a soma dos pontos correspondentes aos pinos derrubados. Em uma jogada, Mariana fez 10 pontos ao derrubar dois pinos pretos. Em outra jogada, ela fez 12 pontos ao derrubar um pino preto e um branco. Numa terceira jogada, Mariana fez 55 pontos ao derrubar três pinos pretos, um branco e três cinzas.

Mariana na pista de boliche segurando uma bola

Três conjuntos de pinos indicando as jogadas e respectivas pontuações: 10 pontos para 2 pinos pretos derrubados; 12 pontos para 1 pino preto e 1 branco derrubados; 55 pontos para 3 pretos, 1 branco e 3 cinzas derrubados

a) Quantos pontos vale cada pino preto?

b) Quantos pontos vale cada pino cinza?

c) Mariana fez 42 pontos em uma jogada ao derrubar pelo menos um pino de cada cor. Quantos pinos de cada cor ela derrubou?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item A

Como 2 pinos pretos valem 10 pontos e pinos de mesma cor têm o mesmo valor, concluímos que cada pino preto vale 10 \div 2 = 5 pontos.

Item B

Para saber quanto vale cada pino cinza, vamos calcular primeiramente quanto vale cada pino branco. Na segunda jogada, Mariana fez 12 pontos ao derrubar um pino branco e um preto. Já vimos que cada pino preto vale 5 pontos; logo, um pino branco vale 12 - 5 = 7 pontos. Na terceira jogada, Mariana fez 55 pontos e foram derrubados 3 pinos pretos (15 pontos), 1 pino branco (7 pontos) e 3 pinos cinzas (55 - 15 - 7 = 33 pontos). Logo, cada pino cinza vale 33 \div 3 = 11 pontos.

Item C

O enunciado informa que, na jogada em que Mariana fez 42 pontos, pelo menos um pino de cada cor foi derrubado. A resposta é única:

42 = 2 \times 5 + 3 \times 7 + 1 \times 11 \text{ (2 pinos pretos, 3 pinos brancos e 1 pino cinza).}

Vejamos como essa resposta foi encontrada e por que não há outra solução:

Se somente um pino cinza foi derrubado, o total dos valores dos pinos pretos e brancos derrubados deve ser 42 - 11 = 31. Observando a tabuada do 5 e a do 7, vemos que a única maneira de escrever 31 como uma soma de um múltiplo de 5 com um múltiplo de 7 é 31 = 2 \times 5 + 3 \times 7. Essa é a solução apresentada acima.
Se dois pinos de cor cinza foram derrubados, o total dos valores dos pinos pretos e brancos derrubados deve ser 42 - 22 = 20. Observando a tabuada do 5 e a do 7, vemos, de maneira análoga, que a única forma de escrever 20 como uma soma de um múltiplo de 5 com um múltiplo de 7 é 20 = 4 \times 5 + 0 \times 7, mas essa solução não serve, pois o enunciado diz que ao menos um pino branco foi derrubado.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Dois pinos pretos valem 10 pontos, então cada preto vale 10 \div 2 = 5 pontos.

5 pontos.

b) Na segunda jogada, preto + branco = 12. Como o preto vale 5, o branco vale 12-5=7 pontos.

Na terceira jogada temos 3 pretos, 1 branco e 3 cinzas, num total de 55 pontos:

3\cdot 5 + 7 + 3c = 55 \Rightarrow 22 + 3c = 55 \Rightarrow 3c = 33 \Rightarrow c = 11.

Cada pino cinza vale 11 pontos.

c) Sejam p, b e g as quantidades de pinos pretos, brancos e cinzas derrubados, todas com pelo menos 1:

5p + 7b + 11g = 42.

O mínimo é um pino de cada cor, que dá 5+7+11=23 pontos. Sobram 42-23=19 pontos para distribuir em pinos extras: 5x+7y+11z=19, com x,y,z\ge 0 (os extras de cada cor).

Se z\ge 1, sobram 19-11=8 para 5x+7y. Isso é impossível, pois 8 não é 0, 5, 7 nem 10 ou mais.
Se z=0, então 5x+7y=19. Testando: y=0 dá 19 (não é múltiplo de 5); y=1 dá 12 (não); y=2 dá 5, logo x=1.

Assim, x=1, y=2, z=0, e a solução é única. Então p=2, b=3, g=1.

Conferindo: 2\cdot5+3\cdot7+1\cdot11=10+21+11=42. ✓

Ela derrubou 2 pinos pretos, 3 brancos e 1 cinza.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2021

Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 1. Prova oficial ↗