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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Permutações

Um tabuleiro é formado por dez casas, ligadas como na figura ao lado. As casas desse tabuleiro devem ser preenchidas com números, seguindo as regras:

na primeira linha, os números 1, 2, 3 e 4 devem aparecer sem repetição;
nas demais linhas, o número em cada casa é a soma dos números nas duas casas da linha de cima que estão ligadas a ela.

Tabuleiro de dez casas organizadas em formato triangular invertido em 4 linhas, com 4 círculos na 1ª linha, 3 na 2ª linha, 2 na 3ª linha e 1 na 4ª linha, conectadas por segmentos.

Observe abaixo uma forma de preencher completamente o tabuleiro.

Exemplo de tabuleiro preenchido: 1ª linha com 4, 1, 2, 3; 2ª linha com 5, 3, 5; 3ª linha com 8, 8; e 4ª linha com 16.

a) Complete o tabuleiro abaixo seguindo as regras de preenchimento descritas acima.

Tabuleiro com a primeira linha preenchida com os números 1, 3, 4 e 2, e as demais casas vazias.

b) Começando com o tabuleiro vazio, e seguindo as mesmas regras acima, quais são os números que podem aparecer na primeira casa da segunda linha?

Tabuleiro com todas as casas vazias, exceto a primeira casa da segunda linha, que contém uma interrogação.

c) Começando novamente com o tabuleiro vazio, e seguindo as mesmas regras, qual é o maior número que pode aparecer na terceira linha?

d) Explique por que, seguindo as mesmas regras, a casa da última linha nunca será preenchida com o número 25.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

item a) Há uma única maneira de preencher o tabuleiro:

[Figura: Pirâmide invertida de quatro níveis de círculos com números preenchidos. Primeira linha: 1, 3, 4, 2; segunda linha: 4, 7, 6; terceira linha: 11, 13; quarta linha: 24.]

item b)
O número que aparece na primeira casa da segunda linha depende de como são colocados os dois primeiros números da primeira linha. As possibilidades são as seguintes:

1 + 2 = 2 + 1 = 3, 1 + 3 = 3 + 1 = 4, 1 + 4 = 4 + 1 = 5, 2 + 3 = 3 + 2 = 5, 2 + 4 = 4 + 2 = 6 e 3 + 4 = 4 + 3 = 7.

Logo, na primeira casa da segunda linha somente podem aparecer os seguintes números: 3, 4, 5, 6 ou 7. Observe que o único número que pode aparecer repetido na segunda linha é 5 e que o maior número da segunda linha é 7.

item c)
O maior número que pode aparecer na terceira linha é 13. Ele aparece quando somamos os dois maiores números que podem aparecer na segunda linha, ou seja, o 6 com o 7. Não há, assim, maneira de fazer aparecer na terceira linha um número maior do que 13, já que números de uma linha são sempre a soma de dois números da linha anterior e, somando os maiores de uma linha, obtemos o maior da linha seguinte.

item d)

Primeira solução:

O número 25 nunca aparecerá na última linha, pois o número que aparece na última linha sempre é par. De fato, dentre os números 1, 2, 3 e 4, dois deles são pares e dois são ímpares. Na primeira linha eles podem ser colocados de seis maneiras diferentes:

(par, par, ímpar, ímpar) ou (par, ímpar, par, ímpar) ou (par, ímpar, ímpar, par) ou (ímpar, par, par, ímpar) ou (ímpar, par, ímpar, par) ou, finalmente, (ímpar, ímpar, par, par).

Em qualquer um desses casos, considerando que a soma de dois números pares é par, que a soma de um par com um ímpar é ímpar e que a soma de dois ímpares é par, chegaremos à conclusão de que, usando as regras de preenchimento, o elemento da última linha sempre é par.

Segunda solução:

Vamos mostrar que o maior número que pode aparecer na última linha é 24. Para obter o maior resultado possível, olhamos para a segunda linha: a casa central da segunda linha deve conter o número 7 (o maior possível nesta linha), pois ele vai contribuir duas vezes como parcela para formar a terceira linha. Além disso, seus dois vizinhos na segunda linha somam 10, pois 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Logo, para obter o resultado máximo, a soma dos elementos da segunda linha deve ser 17. Olhamos agora para a terceira linha: a soma dos números dessa linha forçosamente será 2 \times 7 + 10 = 24. E se a soma dos números na terceira linha é 24, então, na última casa o número que aparece é 24. Logo, 24 é o maior valor possível para o elemento da última linha. De fato, 24 pode efetivamente ocorrer na última linha, como foi mostrado no exemplo do item a).

Terceira solução:

Vamos raciocinar de trás para frente. Se 25 aparecesse na última linha, ele deveria ser a soma de duas parcelas da linha anterior. Pelo menos uma dessas parcelas deveria ser maior do que 12 (pois, se ambas fossem iguais ou menores do que 12, sua soma seria, no máximo, 24). Mas, pelo item c), o maior número da terceira linha é 13 (é o único número maior do que 12 que pode aparecer na terceira linha). Logo, as únicas possibilidades seriam 25 = 12 + 13 ou 25 = 13 + 12, ou seja, 12 e 13 deveriam aparecer na terceira linha. Veremos, entretanto, que isto é impossível. De fato, 13 só pode ser obtido como a soma de 6 e 7. Assim, de baixo para cima, há apenas as seguintes possibilidades de preenchimento:

[Figura: Quatro esquemas de preenchimento triangular parcial com o número 25 no vértice inferior: no primeiro, terceira linha com 12 e 13, segunda linha com 5, 7 e 6; no segundo, terceira linha com 12 e 13, segunda linha com 6, 6 e 7; no terceiro, terceira linha com 13 e 12, segunda linha com 6, 7 e 5; no quarto, terceira linha com 13 e 12, segunda linha com 7, 6 e 6. Todos têm os quatro círculos da primeira linha vazios.]

A segunda e a quarta situações acima são impossíveis, pois o número 6 aparece repetido na segunda linha e vimos, no item b), que isto não pode ocorrer; só o 5 pode aparecer repetido na segunda linha. A primeira e terceira das situações acima são simétricas e podem ser tratadas da mesma maneira. Assim, vamos analisar somente a primeira delas e ver que ela também não pode ocorrer. Concluiremos, então, que nenhuma das possibilidades pode acontecer, se 25 ocupar a última linha.

Acima do 7, na primeira linha, só podem aparecer o 3 e o 4 ou o 4 e o 3:

[Figura: Dois esquemas de preenchimento comparados lado a lado, com a palavra "ou" entre eles. Abaixo do primeiro esquema está escrito "Situação A" e abaixo do segundo, "Situação B". Em ambos, a quarta linha tem o número 25, a terceira linha tem 12 e 13, e a segunda linha tem 5, 7 e 6. Na Situação A, a primeira linha tem os números 3 e 4 nas posições centrais sobre o 7. Na Situação B, a primeira linha tem os números 4 e 3 nas posições centrais sobre o 7. Os círculos das extremidades da primeira linha estão vazios.]

Na situação A, para as somas serem corretas na segunda linha, teríamos que repetir o número 2 na primeira linha e, na situação B, teríamos que repetir o número 3 na primeira linha, violando a primeira regra.

Conclusão: supor que 25 aparece na última linha nos leva a preenchimentos incorretos nas linhas anteriores. Logo, ele nunca aparecerá na última linha.

Quarta solução: (Esta solução utiliza rudimentos de álgebra)

Vamos representar os números da primeira linha por a, b, c e d. Com isto, o preenchimento fica:

[Figura: Esquema triangular de círculos contendo expressões algébricas: primeira linha com a, b, c, d; segunda linha com a+b, b+c, c+d; terceira linha com a+2b+c, b+2c+d; quarta linha com a+3b+3c+d.]

Como a + 3b + 3c + d = (a + b + c + d) + 2 (b + c) = 10 + 2(b + c), o valor máximo da expressão na última casa ocorre quando b e c são máximos (isto é, quando c = 3 e b = 4 ou c = 4 e b = 3) e, assim, os valores de a e d devem ser iguais a 1 ou 2. Desse modo, o valor máximo de a + 3b + 3c + d é 1 + 3 \times 3 + 3 \times 4 + 2 = 24. Portanto, 25 nunca poderá aparecer na última casa.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Sejam a, b, c, d os números da 1ª linha, em ordem, uma permutação de 1, 2, 3, 4. Aplicando a regra, as linhas seguintes ficam:

2ª linha: a+b, b+c, c+d
3ª linha: a+2b+c e b+2c+d
4ª linha: a+3b+3c+d

a)

Com 1, 3, 4, 2 na primeira linha, vamos somando as casas ligadas:

2ª linha: 1+3=4, 3+4=7, 4+2=6.
3ª linha: 4+7=11 e 7+6=13.
4ª linha: 11+13=24.

O tabuleiro fica: 1ª linha 1, 3, 4, 2; 2ª linha 4, 7, 6; 3ª linha 11, 13; 4ª linha 24.

Resposta: 2ª linha 4, 7, 6; 3ª linha 11, 13; 4ª linha 24.

b)

A primeira casa da 2ª linha é a soma de dois números distintos de \{1,2,3,4\}. Listando todas as somas possíveis:

1+2=3
1+3=4
1+4=2+3=5
2+4=6
3+4=7

Todas podem ocorrer, bastando colocar os dois números escolhidos nas duas primeiras casas e os outros dois nas restantes. Os valores possíveis são 3, 4, 5, 6 e 7.

Resposta: 3, 4, 5, 6 e 7.

c)

Os números da 3ª linha são a+2b+c e b+2c+d. Pela simetria, basta maximizar o primeiro, a+2b+c. O número b conta duas vezes, então o melhor é b=4. Sobram 1, 2, 3 para a e c, e a maior soma é a+c=3+2=5. Logo:

a+2b+c = 5 + 2\cdot 4 = 13.

Um exemplo é a 1ª linha 3, 4, 2, 1, que dá 2ª linha 7, 6, 3 e 3ª linha 13, 9. O outro número da 3ª linha, b+2c+d, é simétrico e tem o mesmo máximo.

Resposta: 13.

d)

O número da última linha é

a+3b+3c+d=(a+b+c+d)+2(b+c).

Como a+b+c+d=1+2+3+4=10, temos

a+3b+3c+d = 10 + 2(b+c).

Isso é um número par, pois é soma de dois números pares. Como 25 é ímpar, ele nunca aparece na última casa.

Resposta: o número da última casa é sempre 10+2(b+c), que é par; logo nunca é 25, que é ímpar.

Assunto: Permutações.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗