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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Ana e Pedro brincam de pintar casas em um tabuleiro com seis linhas e doze colunas, numeradas como na figura. Cada um deles joga um dado para sortear um número de 1 a 6. A seguir, é pintada a casa que está na linha cujo número foi sorteado por Ana e na coluna cujo número é igual à soma dos números sorteados por Ana e Pedro.

Na figura, a casa na linha 4 e na coluna 7 foi pintada após Ana sortear o número 4 e Pedro sortear o número 3.

Tabuleiro de 6 linhas e 12 colunas numeradas de 1 a 12, com a casa da linha 4 e coluna 7 pintada de vermelho

a) Ana e Pedro sortearam dois números, e a casa do tabuleiro abaixo foi pintada. Qual foi o número sorteado por Pedro?

Tabuleiro de 6 linhas numeradas de 1 a 6 e 12 colunas numeradas de 1 a 12, com a casa da linha 3 e coluna 4 pintada de vermelho

b) Explique por que a casa marcada com X no tabuleiro abaixo nunca será pintada.

Tabuleiro de 6 linhas numeradas de 1 a 6 e 12 colunas numeradas de 1 a 12, com a letra X marcada na casa da linha 3 e coluna 10

c) No tabuleiro abaixo, marque com X todas as casas que nunca serão pintadas.

Tabuleiro com 6 linhas numeradas de 1 a 6 e 12 colunas numeradas de 1 a 12 com todas as casas em branco

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Como a casa pintada está na linha 3, Ana sorteou o número 3 e, como ela também está na coluna 4, concluímos que Pedro sorteou o número 1, pois 4 - 3 = 1.

b)
Se a casa marcada com X fosse pintada, como ela está na linha 3 e na coluna 10, o número sorteado por Pedro deveria ser 10 - 3 = 7. Mas, o dado não contém face numerada com 7. Logo, a casa marcada com X no tabuleiro nunca será pintada.

c)
Raciocinando de modo análogo ao que foi feito no item b), as casas que nunca serão pintadas são as marcadas com X no tabuleiro abaixo:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	X							X	X	X	X	X
2	X	X							X	X	X	X
3	X	X	X							X	X	X
4	X	X	X	X							X	X
5	X	X	X	X	X							X
6	X	X	X	X	X	X

Basta subtrair do número da coluna o número da linha da casa: se o resultado não for um número de 1 a 6, então a casa não pode ser pintada. As demais casas sempre podem ser pintadas.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Se Ana sorteia a e Pedro sorteia p, a casa pintada fica na linha a e na coluna a+p. Como p vai de 1 a 6, em cada linha a só podem ser pintadas as colunas de a+1 até a+6.

a) A casa pintada está na linha 3, então Ana sorteou 3. A coluna é 4, então 3+p=4, ou seja, p=4-3=1.

Pedro sorteou 1.

b) O X está na linha 3, o que significa que Ana sorteou 3. Para pintar a coluna 10, Pedro precisaria sortear p tal que 3+p=10, ou seja, p=7. Isso é impossível, pois o dado só tem números de 1 a 6. Na linha 3, a maior coluna que pode ser pintada é 3+6=9.

A casa (linha 3, coluna 10) nunca é pintada, pois exigiria Pedro sortear 7.

c) Usando a regra da coluna entre a+1 e a+6, as casas pintáveis em cada linha são:

Linha 1: colunas 2 a 7. Recebem X as colunas 1 e 8 a 12.
Linha 2: colunas 3 a 8. Recebem X as colunas 1, 2 e 9 a 12.
Linha 3: colunas 4 a 9. Recebem X as colunas 1 a 3 e 10 a 12.
Linha 4: colunas 5 a 10. Recebem X as colunas 1 a 4, 11 e 12.
Linha 5: colunas 6 a 11. Recebem X as colunas 1 a 5 e 12.
Linha 6: colunas 7 a 12. Recebem X as colunas 1 a 6.

Conferindo: cada linha tem 6 casas pintáveis e 6 com X, num total de 6\cdot 6=36 casas com X. Ficam livres de X só as casas em uma faixa diagonal.

Marcam-se 36 X: em cada linha a, todas as colunas menores que a+1 e todas as maiores que a+6.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗