PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2012
Pedro brinca com um tabuleiro quadriculado 4 \times 6 e com peças dos tipos A, B e C. Ele tenta cobrir inteiramente o tabuleiro com as peças, encaixando-as sem que nenhuma fique sobre outra. Por exemplo, usando somente peças do tipo C, ele consegue cobrir o tabuleiro, como indicado na figura.
a) Mostre como Pedro pode cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo A.
b) Mostre como Pedro pode cobrir o tabuleiro com peças dos tipos A e B, usando uma ou mais peças do tipo B.
c) Explique por que não é possível cobrir o tabuleiro usando somente peças do tipo B.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada peça A tem 3 quadradinhos e o tabuleiro tem 4\times 6=24, então precisamos de 24\div 3=8 peças. Duas peças A formam um retângulo 2\times 3 (uma L e a outra L girada de 180^\circ). O tabuleiro 4\times 6 se divide em quatro retângulos 2\times 3, e cada um é coberto por duas peças. Numerando as 8 peças (cada número é uma peça A):
1 2 2 3 4 4
1 1 2 3 3 4
5 6 6 7 8 8
5 5 6 7 7 8
Cada número aparece em 3 casas formando um L, e as 24 casas ficam cobertas.
Uma cobertura possível é a mostrada acima, com 8 peças do tipo A.
b) Cada B tem 5 casas e cada A tem 3. Com b peças B e a peças A, 5b+3a=24. Isso exige b múltiplo de 3, e b=6 já daria 30 casas, mais que as 24. Então b=3 e a=3: 15+9=24.
Montagem: dois B nos cantos da esquerda (um em cima, um embaixo), cada um com 2×2 mais uma casa na terceira coluna. Duas peças A completam a coluna 4 e encaixam nas casas que sobram na coluna 3. Na região 4\times 2 da direita (colunas 5 e 6) cabe o terceiro B (um 2×2 no topo mais uma casa embaixo) e o terceiro A nas 3 casas restantes. Com P, Q, R as peças B e x, y, z as peças A:
P P P x R R
P P x x R R
Q Q Q y R z
Q Q y y z z
P, Q e R têm a forma de B (um quadrado 2×2 com uma casa a mais em fila). x, y e z são L de 3 casas.
Uma cobertura possível é a mostrada acima, com 3 peças B e 3 peças A.
c) Cada peça B cobre 5 casas, então qualquer quantidade de peças B cobre um número de casas múltiplo de 5. O tabuleiro tem 24 casas, que não é múltiplo de 5: 4 peças cobrem 20 casas (faltam 4) e 5 peças cobririam 25 (mais que o tabuleiro).
Não é possível, porque 24 não é múltiplo de 5.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗