Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Resolução comentada

a) Um múltiplo de 20 é múltiplo de 10, então termina em 0. Além disso, o número formado por seus dois últimos algarismos deve ser múltiplo de 20, ou seja, terminar em 00, 20, 40, 60 ou 80. Com apenas 0 e 1, só serve terminar em 00. O menor número com 0 e 1 terminado em 00 e diferente de zero é 100, e 100 = 20\cdot 5.

Resposta: 100.

b) Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. Com algarismos 0 e 1, a soma é a quantidade de algarismos 1. Essa quantidade precisa ser múltipla de 9, e a menor possível é 9. Para o número ser o menor, não usamos zeros: nove algarismos 1.

Resposta: 111 111 111.

c) Como 45 = 9\cdot 5 e 9 e 5 não têm fator comum, o número deve ser divisível por 9 e por 5.

• Divisível por 5: termina em 0 ou 5, e só o 0 é permitido.
• Divisível por 9: precisa de pelo menos nove algarismos 1.

O menor número é então nove algarismos 1 seguidos de um 0: 1\,111\,111\,110.

Resposta: 1 111 111 110.

d) Como 1110 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 37, o número procurado é no máximo 1110. Vamos testar os naturais em ordem e ver qual é o múltiplo irado de cada um.

• 1 \to 1
• 2 \to 10
• 3 \to 111, pois a soma dos algarismos deve ser múltipla de 3 e 11 e 10 não servem
• 4 \to 100
• 5 \to 10

Nenhum deles dá 1110. Para o 6, o múltiplo deve ser par, ou seja, terminar em 0, e ter soma de algarismos múltipla de 3, ou seja, três algarismos 1 (ou mais). O menor número assim é 1110, e de fato 1110 = 6\cdot 185. Logo o múltiplo irado de 6 é 1110, e nenhum natural menor tem esse múltiplo irado.

Resposta: 6.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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