Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

André, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre eles. Para isso, colocaram três bolas brancas e uma preta em uma caixa e combinaram que, em ordem alfabética de seus nomes, cada um tiraria uma bola, sem devolvê-la à caixa. Aquele que tirasse a bola preta ganharia o livro.

Quatro crianças sentadas em roda ao redor de uma caixa com um orifício circular na tampa.

a) Qual é a probabilidade de André ganhar o livro?

b) Qual é a probabilidade de Dalva ganhar o livro?

Para sortear outro livro, André sugeriu usar duas bolas pretas e seis brancas. Como antes, o primeiro que tirasse uma bola preta ganharia o livro; se as primeiras quatro bolas fossem brancas, eles continuariam a retirar bolas, na mesma ordem. Nesse novo sorteio:

c) Qual é a probabilidade de André ganhar o livro?

d) Qual é a probabilidade de Dalva ganhar o livro?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

André, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre eles. Para isso, colocaram três bolas brancas e uma preta em uma caixa e combinaram que, em ordem alfabética de seus nomes, cada um tiraria uma bola, sem devolvê-la à caixa. Aquele que tirasse a bola preta ganharia o livro.

Quatro crianças sentadas em roda ao redor de uma caixa com um orifício circular na tampa.

a) Qual é a probabilidade de André ganhar o livro?

b) Qual é a probabilidade de Dalva ganhar o livro?

Para sortear outro livro, André sugeriu usar duas bolas pretas e seis brancas. Como antes, o primeiro que tirasse uma bola preta ganharia o livro; se as primeiras quatro bolas fossem brancas, eles continuariam a retirar bolas, na mesma ordem. Nesse novo sorteio:

c) Qual é a probabilidade de André ganhar o livro?

d) Qual é a probabilidade de Dalva ganhar o livro?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para André ganhar o livro ele deve retirar a bola preta. Como a caixa contém quatro bolas das quais apenas uma é preta, a probabilidade de ele retirar a bola preta é \frac{1}{4}. Outra solução aparece na 2ª solução do item b).

b) 1ª solução: Para Dalva ganhar o livro, André, Bianca e Carlos devem retirar bolas brancas. Como inicialmente a caixa contém 3 bolas brancas, a probabilidade de André retirar uma bola branca é \frac{3}{4}. Supondo que André tire uma bola branca, sobrarão na caixa 2 bolas brancas e 1 preta; assim, a probabilidade de Bianca tirar uma bola branca é \frac{2}{3}. Do mesmo modo, se André e Bianca tirarem bolas brancas, a probabilidade de Carlos tirar uma bola branca será \frac{1}{2}. Assim, a probabilidade de André, Carlos e Bianca tirarem bolas brancas é \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, que é a probabilidade de Dalva ganhar o livro. Raciocínio semelhante mostra que a probabilidade de qualquer um dos amigos ganhar o livro é \frac{1}{4}, ou seja, o sorteio é justo e a ordem em que eles retiram as bolas não tem importância. Para entender melhor isso, vejamos outra solução.

2ª solução: Mantendo as regras do sorteio, vamos pintar uma bola branca de azul e outra de vermelho; temos então quatro bolas diferentes na caixa. O número de sorteios possíveis passa a ser 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24; desses, Dalva ganha o livro quando André, Bianca e Carlos ficam com as bolas branca, azul e vermelha, o que pode acontecer de 3 \times 2 \times 1 = 6 maneiras diferentes. Logo a probabilidade de Dalva ganhar o livro é \frac{6}{24} = \frac{1}{4}. Esse raciocínio se aplica a qualquer um dos amigos, justificando assim o comentário anterior sobre a justiça do sorteio.

c) 1ª solução: André pode ganhar o livro de duas maneiras, a saber, quando a primeira bola retirada for preta ou então quando as quatro primeiras bolas retiradas forem brancas e a quinta preta. A probabilidade no primeiro caso é \frac{2}{8} = \frac{1}{4} e no segundo é \frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{28}. Assim, a probabilidade procurada é \frac{1}{4} + \frac{3}{28} = \frac{5}{14}.

2ª solução: A probabilidade de que André ganhe o livro na primeira rodada, como visto acima, é \frac{1}{4}. Para calcular a probabilidade de que ele ganhe o livro na segunda rodada, vamos calcular os casos possíveis e os casos favoráveis. As primeiras cinco bolas podem ser sorteadas de 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 maneiras. Para que André ganhe o livro na quinta bola, as quatro primeiras bolas devem ser brancas e a quinta preta, o que pode ocorrer de 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 maneiras. Logo, a probabilidade de que André ganhe o livro na quinta bola sorteada é \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4} = \frac{3}{28}. Assim, a probabilidade procurada é \frac{1}{4} + \frac{3}{28} = \frac{5}{14}.

d) 1ª solução: Dalva só vai ganhar o livro no caso em que as três primeiras bolas sorteadas sejam brancas e a quarta preta; de fato, se as quatro primeiras bolas sorteadas forem brancas, sobrarão na caixa duas brancas e duas pretas e uma bola preta será retirada antes que chegue sua vez. Assim, a probabilidade de que Dalva ganhe o livro é \frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{7} = \frac{2}{14}. Fica como exercício mostrar que as probabilidades de Bianca e Carlos ganharem o livro são, respectivamente, \frac{4}{14} e \frac{3}{14}. O André foi bem esperto em propor esse novo sorteio! (observação: escrevemos todas as probabilidades como frações com o mesmo denominador para compará-las mais rapidamente e também para facilitar a verificação de que a soma de todas é igual a 1.)

2ª Solução: Dalva só pode ganhar o livro no caso em que as três primeiras bolas sorteadas sejam brancas e a quarta preta. As quatro primeiras bolas podem ser sorteadas de 8 \times 7 \times 6 \times 5 modos. Para que Dalva ganhe o livro, as três primeiras devem ser brancas e a quarta preta, o que pode ocorrer de 6 \times 5 \times 4 \times 2 modos. Logo, a probabilidade de que Dalva ganhe o livro é \frac{6 \times 5 \times 4 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5} = \frac{1}{7}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A bola preta pode estar em qualquer uma das 4 posições da ordem de retirada, todas com a mesma chance. Isso vale porque as bolas saem sem reposição e de forma aleatória. André tira a primeira bola, e a probabilidade de ser a preta é \frac{1}{4}.

Resposta: \frac{1}{4}.

b) Dalva só ganha se as três primeiras bolas forem brancas e a quarta for preta:

\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}.

O resultado é o mesmo de André, porque a posição da bola preta é equiprobável.

Resposta: \frac{1}{4}.

c) Agora são 8 bolas, e a ordem de retirada se repete: A, B, C, D, A, B, C, D. André tira nas posições 1 e 5, Bianca em 2 e 6, Carlos em 3 e 7, Dalva em 4 e 8. Ganha quem tirar a primeira bola preta.

As posições das duas bolas pretas formam um par escolhido entre as 8 posições, e há \binom{8}{2}=28 pares igualmente prováveis.

Se a primeira preta está na posição k, a outra está em uma das 8-k posições seguintes. Isso dá:

k=1: 7 pares
k=5: 3 pares

André ganha com k=1 ou k=5, ou seja, em 7+3=10 pares:

\frac{10}{28}=\frac{5}{14}.

Resposta: \frac{5}{14}.

d) Dalva ganha quando a primeira preta está na posição 4 ou na 8.

k=4: 8-4=4 pares
k=8: 0 pares, pois não sobra posição para a segunda preta

Logo, são 4 pares favoráveis:

\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.

Conferência: Bianca tem 6+2=8 pares e Carlos tem 5+1=6. A soma é 10+8+6+4=28, como esperado.

Resposta: \frac{1}{7}.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗