Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

Uma formiguinha fez um passeio em um plano que contém dois pontos fixos A e B. O gráfico em linha cheia representa a distância da formiga ao ponto A, em função do tempo, entre os instantes t = 0 e t = 9; o gráfico em linha tracejada dá a mesma informação com relação ao ponto B. Por exemplo, no instante t = 7 a distância da formiga ao ponto A era 5 e ao ponto B era 3.

a) Em que instantes a formiguinha se encontrava à mesma distância de A e de B?

b) Qual é a distância entre A e B?

c) Entre que instantes a formiguinha estava sobre a reta que passa por A e B?

d) Qual foi o comprimento do trajeto percorrido pela formiguinha entre os instantes t = 0 e t = 9?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Leitura e interpretação de gráficos

Uma formiguinha fez um passeio em um plano que contém dois pontos fixos A e B. O gráfico em linha cheia representa a distância da formiga ao ponto A, em função do tempo, entre os instantes t = 0 e t = 9; o gráfico em linha tracejada dá a mesma informação com relação ao ponto B. Por exemplo, no instante t = 7 a distância da formiga ao ponto A era 5 e ao ponto B era 3.

a) Em que instantes a formiguinha se encontrava à mesma distância de A e de B?

b) Qual é a distância entre A e B?

c) Entre que instantes a formiguinha estava sobre a reta que passa por A e B?

d) Qual foi o comprimento do trajeto percorrido pela formiguinha entre os instantes t = 0 e t = 9?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Gráfico cartesiano ilustrativo da distância ao ponto A e distância ao ponto B em função do tempo t]

Vamos denotar a distância da formiguinha a A e B no instante t por A(t) e B(t), respectivamente, como à esquerda. No gráfico abaixo, o ponto mostra que A(3) = 1 e o ponto Q mostra que B(8) = 3.

[Figura: Gráfico das distâncias A(t) e B(t) de t = 0 a t = 9, destacando os pontos U e T em t = 0, R em t = 2, P em t = 3, S em t = 5 e Q em t = 8]

a) Os pontos R e S, onde os gráficos se cruzam, correspondem aos instantes t nos quais A(t) = B(t), ou seja, quando a formiguinha se encontrava à mesma distância dos pontos A e B. Em R temos t = 2 e A(2) = B(2) = 2; em S temos t = 5 e A(5) = B(5) = 3.

b) Os pontos T e U mostram que B(0) = 0 e A(0) = 4, ou seja, em t = 0 a formiguinha se encontrava sobre B e à distância 4 de A. Logo a distância entre A e B é 4.

c) Quando a formiguinha F estava na reta que passa por A e B, uma das três possibilidades a seguir deve ter ocorrido:

F estava entre A e B, ou seja, A(t) + B(t) = 4 [Figura: Esquema de uma reta com os pontos A, F e B alinhados nessa ordem, indicando as distâncias A(t), B(t) e o total 4]
A estava entre F e B, ou seja, B(t) - A(t) = 4 [Figura: Esquema de uma reta com os pontos F, A e B alinhados nessa ordem, indicando as distâncias A(t), 4 e B(t)]
B estava entre A e F, ou seja, A(t) - B(t) = 4 [Figura: Esquema de uma reta com os pontos A, B e F alinhados nessa ordem, indicando as distâncias 4, B(t) e A(t)]

No gráfico vemos que a primeira possibilidade ocorreu no intervalo de tempo entre t = 0 e t = 3; a segunda possibilidade não ocorreu e a terceira ocorreu apenas no instante t = 9.

d) Como vimos no item anterior, de t = 0 até t = 3 a formiguinha partiu de B e se moveu ao longo do segmento AB. Nesse trajeto A(t) decresce, ou seja, a formiguinha se aproximou de A até chegar a um ponto que dista 1 de A e 3 de B. Entre t = 3 e t = 9 o gráfico mostra que B(t) = \text{constante} = 3, ou seja, a formiguinha andou ao longo de um arco de círculo de centro B e raio 3. Finalmente, em t = 9 a formiguinha voltou à reta AB, dessa vez em um ponto que dista 7 de A e 3 de B. Na figura ilustramos esse trajeto, com as posições da formiguinha em instantes especiais. Assim, a formiguinha percorreu um segmento de comprimento 3 seguido de um semicírculo de raio 3; o comprimento desse trajeto é 3 + 3\text{π}.

[Figura: Esquema geométrico no plano mostrando o trajeto da formiguinha ao longo do segmento de t = 0 a t = 3, e o semicírculo de raio 3 em torno de B de t = 3 a t = 9, com os pontos t = 0, t = 2, t = 3, t = 5 e t = 9 assinalados]

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Resolução comentada

a) Os gráficos se cruzam quando as duas distâncias são iguais. Lendo a figura, isso acontece em t=2 (as duas valem 2) e em t=5 (as duas valem 3).

Resposta: nos instantes t=2 e t=5.

b) Em t=0 a distância da formiga a B é 0, então a formiga está exatamente sobre B. Nesse mesmo instante a distância a A é 4. Logo AB=4.

Resposta: AB=4.

c) Pela desigualdade triangular, a formiga F só fica sobre a reta AB se FA+FB=AB (ela está entre A e B) ou se |FA-FB|=AB (ela está fora do segmento).

De t=0 a t=3: FA=4-t e FB=t, então FA+FB=4=AB. A formiga caminha sobre o segmento AB, de B até um ponto a 1 de A.
De t=3 a t=9: FB=3 e FA=t-2. A soma FA+FB=4 só ocorre para t=3. Já |FA-FB|=4 exige FA=7, ou seja, t=9. Para 3<t<9 vale 1<FA<7 e a desigualdade triangular é estrita, então a formiga está fora da reta.

Resposta: de t=0 a t=3 e também no instante t=9.

d) De t=0 a t=3 a formiga anda sobre o segmento AB, de B até um ponto P com PB=3 e PA=1. Ela percorre 3.

De t=3 a t=9 a distância a B fica constante em 3, então a formiga se move sobre a circunferência de centro B e raio 3. A distância a A cresce sem parar de 1 até 7. O valor 1 é o mínimo possível, no ponto P entre A e B. O valor 7=4+3 é o máximo possível, no ponto da circunferência diametralmente oposto a P. Como FA só aumenta, a formiga não volta atrás e percorre exatamente uma semicircunferência:

\frac{2\pi\cdot 3}{2}=3\pi.

O trajeto total é 3+3\pi.

Resposta: 3+3\pi.

Assuntos: Leitura e interpretação de gráficos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗