PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2010
Dois números naturais formam um casal quando eles têm o mesmo número de algarismos e em sua soma aparece apenas o algarismo 9. Por exemplo, 225 e 774 formam um casal, pois ambos têm três algarismos e 225 + 774 = 999.
a) Qual é o número que forma um casal com 2010?
b) Quantos são os casais formados por números de dois algarismos?
Casais especiais são casais em que os dois números têm os mesmos algarismos e, em cada número, os algarismos são distintos. Por exemplo, 36 e 63 formam um casal especial, mas 277 e 722 não.
c) Dê um exemplo de um casal especial com números de quatro algarismos.
d) Explique por que não existem casais especiais com números de três algarismos.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) O número que forma casal com 2010 tem 4 algarismos, então a soma está entre 2010+1000=3010 e 2010+9999=12009. Os únicos números formados só por 9 nesse intervalo são 9999 (os de 5 algarismos, como 99999, passam de 12009). Logo
Conferindo: 2010+7989=9999.
Resposta: 7989.
b) Dois números de dois algarismos somam no máximo 99+99=198 e no mínimo 20. A única soma só com algarismos 9 nesse intervalo é 99. Então o par de um número n é 99-n.
Para que 99-n tenha dois algarismos, é preciso 99-n\ge 10, ou seja, n\le 89. Logo n vai de 10 a 89, o que dá 80 números.
Cada casal usa dois desses números (por exemplo, 10 e 89), e n\neq 99-n porque 99 é ímpar. Contamos cada casal duas vezes, então são 80\div 2=40 casais.
Resposta: 40 casais.
c) Para quatro algarismos, a soma é 9999. Em cada coluna a soma dos algarismos é no máximo 18. Como o algarismo da soma é 9, a soma da coluna é 9 ou 19, e 19 é impossível. Então não há "vai um" e cada coluna soma exatamente 9.
Basta escolher quatro algarismos distintos formando dois pares que somam 9, como 1+8 e 2+7. Tomamos 1827 e 8172. Eles têm os mesmos algarismos, todos distintos em cada número, e
Resposta: por exemplo, 1827 e 8172.
d) Com 3 algarismos, a soma só pode ser 999 (o máximo é 1998). Como no item anterior, não há "vai um" e os algarismos de mesma posição somam 9. Se um número tem algarismos a, b, c, o outro tem 9-a, 9-b, 9-c.
Para o casal ser especial, os dois números precisam ter os mesmos algarismos. Então o conjunto \{a,b,c\}, com três algarismos distintos, deve conter também 9-a, 9-b e 9-c.
Como 9 é ímpar, nenhum algarismo é igual ao seu complemento, pois x=9-x daria x=4{,}5. Assim, os algarismos se agrupam em pares \{x,\,9-x\} dentro do conjunto, e a quantidade de algarismos deveria ser par. Mas o conjunto tem 3 elementos, o que é uma contradição.
Resposta: não existem casais especiais de 3 algarismos, pois os algarismos teriam de se agrupar em pares que somam 9, e 3 é ímpar.
Assuntos: Sistemas de numeração, Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 1. Prova oficial ↗