Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2010

Question

Daniela gosta de brincar com números de dois ou mais algarismos. Ela escolhe um desses números, multiplica seus algarismos e repete o procedimento, se necessário, até chegar a um número com um único algarismo, que ela chama de número-parada do número escolhido. Por exemplo, o número-parada de 32 é 6, pois 32 \rightarrow 3 \times 2 = 6 e o número-parada de 236 é 8, pois 236 \rightarrow 2 \times 3 \times 6 = 36 \rightarrow 3 \times 6 = 18 \rightarrow 1 \times 8 = 8.

Ilustração de Daniela escrevendo em uma folha: 86 -> 8 x 6 = 48 -> 4 x 8 = 32 -> 3 x 2 = 6

a) Qual é o número-parada de 93?

b) Ache um número de quatro algarismos, sem o algarismo 1, cujo número-parada seja 6.

c) Quais são os números de dois algarismos cujo número-parada é 2?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2010

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Daniela gosta de brincar com números de dois ou mais algarismos. Ela escolhe um desses números, multiplica seus algarismos e repete o procedimento, se necessário, até chegar a um número com um único algarismo, que ela chama de número-parada do número escolhido. Por exemplo, o número-parada de 32 é 6, pois 32 \rightarrow 3 \times 2 = 6 e o número-parada de 236 é 8, pois 236 \rightarrow 2 \times 3 \times 6 = 36 \rightarrow 3 \times 6 = 18 \rightarrow 1 \times 8 = 8.

Ilustração de Daniela escrevendo em uma folha: 86 -> 8 x 6 = 48 -> 4 x 8 = 32 -> 3 x 2 = 6

a) Qual é o número-parada de 93?

b) Ache um número de quatro algarismos, sem o algarismo 1, cujo número-parada seja 6.

c) Quais são os números de dois algarismos cujo número-parada é 2?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) O número-parada de 93 é 4, pois 93 \to 9 \times 3 = 27 \to 2 \times 7 = 14 \to 1 \times 4 = 4.

b) Escrevendo 3 \times 2 = 6 vemos que 32 \to 3 \times 2 = 6. Como 32 = 4 \times 2 \times 2 \times 2, temos 4222 \to 4 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \to 3 \times 2 = 6 e assim o número-parada de 4222 é 6, bem como de 2422, 2242 e 2224.

Outra alternativa é escrever 1 \times 6 = 6, o que nos dá 16 \to 1 \times 6 = 6; como 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 segue que 2222 \to 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \to 1 \times 6 = 6 e vemos que o número-parada de 2222 também é 6.

Pode-se também pensar a partir de 48 \to 4 \times 8 = 32 \to 3 \times 2 = 6; como 48 = 4 \times 12 = 4 \times 2 \times 2 \times 3 vemos que 2234, 2324, \dots, 4322 também possuem 6 como número-parada.

c) Há apenas duas maneiras de obter 2 multiplicando dois algarismos, a saber, 12 \to 1 \times 2 = 2 e 21 \to 2 \times 1 = 2. Para obter 12, temos as possibilidades 26 \to 2 \times 6 = 12, 62 \to 6 \times 2 = 12, 34 \to 3 \times 4 = 12 e 43 \to 4 \times 3 = 12; para obter 21, temos as possibilidades 37 \to 3 \times 7 = 21 e 73 \to 7 \times 3 = 21. Como os números 21, 26, 62, 34, 43, 37 e 73 não podem ser obtidos como produto de dois algarismos, concluímos que os números de dois algarismos cujo número-parada é 2 são 12, 21, 26, 62, 34, 43, 37 e 73.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Aplicamos o procedimento até sobrar um algarismo:

93 \rightarrow 9\times 3=27 \rightarrow 2\times 7=14 \rightarrow 1\times 4=4.

O número-parada de 93 é 4.

b) Vamos andar de trás para frente. Precisamos de um número cujo número-parada seja 6 e que seja o produto de quatro algarismos diferentes de 1.

O número 32 serve, pois 32 \rightarrow 3\times 2=6. Agora, 32 = 2\times 2\times 2\times 4, que são quatro algarismos, nenhum igual a 1.

Conferindo com 2224: 2224 \rightarrow 2\times2\times2\times4=32 \rightarrow 3\times 2 = 6.

Uma resposta possível é 2224. Qualquer permutação desses algarismos também serve.

c) Em um número de dois algarismos, o produto dos algarismos é no máximo 9\times 9=81. Esse produto P é um número que também tem de ter número-parada 2.

Os possíveis valores de P são os produtos de dois algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 54, 56, 63, 64, 72, 81.

Calculando o número-parada de cada um, só têm número-parada 2 os valores:

2 (já tem um algarismo);
12 \rightarrow 2;
21 \rightarrow 2.

Agora procuramos os números de dois algarismos cujo produto dos algarismos seja 2, 12 ou 21:

produto 2: 12 e 21;
produto 12: 26,\ 62,\ 34,\ 43;
produto 21: 37 e 73.

Os números são 12, 21, 26, 62, 34, 43, 37 e 73.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2ª fase 2010 · Nível 1. Prova oficial ↗