Solução oficial da OBMEP
a) Após o ingresso de número 1 foram vendidos 100 - 1 = 99 ingressos. Logo quem comprou o primeiro ingresso receberá 99 \times 0{,}01 = 0{,}99 reais. Do mesmo modo, após o ingresso de número 70 foram vendidos 100 - 70 = 30 ingressos, logo quem comprou esse ingresso receberá 30 \times 0{,}01 = 0{,}30 reais.
b) 1a solução : O valor da venda de 100 ingressos é R$ 600,00. O Grêmio terá que devolver 1 centavo para quem comprou o 99º ingresso, 2 centavos para o quem comprou o 98º ingresso e assim por diante, até 99 centavos para quem comprou o 1º ingresso. No total, o Grêmio terá que devolver
\frac{1}{100} + \frac{2}{100} + \frac{3}{100} + \cdots + \frac{99}{100} = \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + 99}{100} = \frac{\dfrac{99 \times 100}{2}}{100} = 49{,}50\text{ reais}
e seu lucro será de 600 - 49{,}50 = 550{,}50 reais.
2a solução : Com os ingressos de número 1 e 100, o Grêmio tem um lucro de
(6 - 99 \times 0{,}01) + (6 - 0 \times 0{,}01) = 11{,}01\text{ reais.}
(6 - 98 \times 0{,}01) + (6 - 1 \times 0{,}01) = 11{,}01\text{ reais}
50 \times 11{,}01 = 550{,}50 reais. Notamos que essa solução é baseada na idéia usada para demonstrar a conhecida fórmula para a soma dos termos consecutivos de uma progressão aritmética.
c) 1a solução : Com a venda de x ingressos o grêmio arrecadará 6x reais e terá que devolver
\frac{1}{100} + \frac{2}{100} + \frac{3}{100} + \cdots + \frac{x - 1}{100} = \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + (x - 1)}{100} = \frac{\dfrac{(x - 1)x}{2}}{100} = \frac{x^2 - x}{200}\text{ reais.}
Logo o lucro do Grêmio será de
L(x) = 6x - \frac{x^2 - x}{200} = \frac{1201x - x^2}{200} = \frac{x(1201 - x)}{200}\text{ reais.}
O gráfico de L(x) é uma parábola; o valor máximo de L(x) ocorre quando x = 600{,}5 (para ver isto não é necessário usar a fórmula para os pontos de máximo ou mínimo, basta observar a simetria do gráfico). Como a quantidade de ingressos é um número inteiro, o lucro máximo do Grêmio será atingido quando forem vendidos 600 ou 601 ingressos. Como esses pontos são simétricos com relação a 600,5 o lucro será o mesmo em qualquer caso. Esse lucro é L(600) = \dfrac{600(1201 - 600)}{200} = 1803 reais.
[Figura: Gráfico de uma parábola com concavidade para baixo no plano cartesiano x-y. A curva intercepta o eixo x na origem (0) e em 1201, com o vértice tracejado até o eixo x indicando o ponto de máximo em 600,5.]
2a solução : Podemos pensar que o comprador do ingresso de número n paga ao Grêmio R$ 6,00 reais, e que desses R$ 6,00 o Grêmio vai retirar R$ 0,01 para cada um dos compradores anteriores. Logo o lucro do Grêmio com o ingresso de número n é f(n) = 6 - (n - 1) \times 0{,}01 = 6{,}01 - 0{,}01 \times n (notamos que essa expressão não depende do número de ingressos vendidos). Segue que o lucro do Grêmio por ingresso diminui de R$ 0,01 a cada ingresso vendido (ou seja, a função f é decrescente). Além disso, seu lucro com a venda de dos ingressos aumenta enquanto ele não tiver prejuízo (isto é, lucro negativo) com algum ingresso. Como o lucro do Grêmio com o ingresso de número 601 é f(601) = 6 - (601 - 1) \times 0{,}01 = 0 reais e a função f é decrescente, vemos que o lucro do Grêmio é positivo para todos os ingressos de número menor que 601, e negativo para todos os ingressos de número maior que 601. Logo o lucro do Grêmio será o maior possível quando forem vendidos 600 (ou 601) ingressos.
3a solução : O comprador do último ingresso não recebe nada de volta, ou seja, o Grêmio vai lucrar R$ 6,00 com seu ingresso; o comprador do penúltimo ingresso recebe R$ 0,01 de volta, logo o Grêmio vai lucrar R$ 5,99 com seu ingresso. Desse modo, o lucro do Grêmio com a venda dos ingressos é
6{,}00 + 5{,}99 + 5{,}98 + \cdots\cdots + (\text{lucro com o ingresso de número } 1)
6 - (x - 1) \times 0{,}01 reais, onde x é o número de ingressos vendidos. A equação 6 - (x - 1) \times 0{,}01 = 0 tem raiz x = 601 , logo o lucro com o ingresso de número 1 é positivo se x < 601 . Desse modo o lucro máximo será atingido quando o Grêmio vender 600 ingressos (ou 601, visto que o ingresso de número 601 dá lucro de 0 reais) .
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) Com 100 ingressos vendidos, o ingresso nº 1 tem 99 ingressos com número maior que o dele. Ele recebe 99 \times \text{R\$ }0{,}01 = \text{R\$ }0{,}99 .
O ingresso nº 70 tem 100-70=30 ingressos maiores. Ele recebe 30 \times \text{R\$ }0{,}01 = \text{R\$ }0{,}30 .
R$ 0,99 e R$ 0,30.
b) O ingresso de número k recebe (100-k) centavos. Então o total pago aos participantes, em centavos, é
99+98+\dots+1+0=\frac{99\cdot 100}{2}=4950.
Isso dá R$ 49,50.
A arrecadação é 100\times 6 = \text{R\$ }600{,}00 .
Lucro: 600{,}00-49{,}50 = \text{R\$ }550{,}50 .
Lucro de R$ 550,50.
c) Vendendo n ingressos, a arrecadação é 6n reais. O total pago, em reais, é
0{,}01\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n-1)}{200}.
O lucro é
L(n)=6n-\frac{n(n-1)}{200}=\frac{1201n-n^2}{200}=\frac{n(1201-n)}{200}.
Isso é uma parábola com concavidade para baixo. O vértice está em n=\frac{1201}{2}=600{,}5 , que não é inteiro.
Os inteiros mais próximos são 600 e 601 , equidistantes do vértice. Os valores de n(1201-n) são iguais:
600\cdot 601 = 601\cdot 600.
O lucro máximo é \frac{600\cdot 601}{200}=\text{R\$ }1.803{,}00 .
Conferindo para n=600 : arrecadação de 3600 , pagamento de \frac{600\cdot 599}{200}=1797 , lucro de 1803 .
Devem ser vendidos 600 ou 601 ingressos (lucro máximo de R$ 1.803,00).
Assunto: Função quadrática .
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