Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Fernando e Isaura inventaram um jogo diferente, cujas regras são as seguintes:

eles começam uma partida com 128 palitos cada um;
em cada jogada, eles tiram par ou ímpar; se sai par, Fernando dá metade dos palitos que tem para Isaura e, se sai ímpar, Isaura dá a metade dos palitos que tem para Fernando.
eles repetem o procedimento da regra 2 até que um deles fique com um número ímpar de palitos, quando a partida acaba. Ganha quem ficar com maior número de palitos.

Fernando e Isaura jogando par ou ímpar diante de montes de palitos sobre a mesa

Veja o que acontece em uma partida onde a seqüência das três primeiras jogadas é par, ímpar, par:

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline 128 & 128 \\ \hline \end{array} \xrightarrow[\text{1ª jogada}]{\textbf{par}} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline 64 & 192 \\ \hline \end{array} \xrightarrow[\text{2ª jogada}]{\textbf{ímpar}} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline 160 & 96 \\ \hline \end{array} \xrightarrow[\text{3ª jogada}]{\textbf{par}} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline 80 & 176 \\ \hline \end{array} \ \cdots

(a) Complete o esquema com o número de palitos de Fernando e Isaura, de acordo com as jogadas indicadas.

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline 128 & 128 \\ \hline \end{array} \xrightarrow[\text{1ª jogada}]{\textbf{ímpar}} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline \quad & \quad \\ \hline \end{array} \xrightarrow[\text{2ª jogada}]{\textbf{ímpar}} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline \quad & \quad \\ \hline \end{array} \xrightarrow[\text{3ª jogada}]{\textbf{par}} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fernando} & \text{Isaura} \\ \hline \quad & \quad \\ \hline \end{array} \ \cdots

(b) Uma partida acabou quando Fernando ficou com 101 palitos. Na última jogada saiu par ou ímpar?

(c) Qual foi a seqüência de pares e ímpares da partida que acabou quando Fernando ficou com 101 palitos?

(d) Mostre que qualquer partida acaba com exatamente sete jogadas.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como saiu ímpar na primeira jogada, Isaura deu metade dos seus palitos para o Fernando; desse modo, Isaura ficou com 64 palitos, e como o número total de palitos é 256 segue que Fernando ficou com 256 - 64 = 192 palitos.. Do mesmo modo, após a segunda jogada Isaura ficou com 32 palitos e Fernando com 256 - 32 = 224 palitos. Na terceira jogada saiu par, e Fernando deu metade de seus palitos para a Isaura; logo, Fernando ficou com 112 palitos e Isaura com 256 - 112 = 144 palitos.

[Figura: Esquema de caixas indicando o número de palitos de Fernando e Isaura a cada jogada: (128, 128) -(ímpar, 1ª jogada)-> (192, 64) -(ímpar, 2ª jogada)-> (224, 32) -(par, 3ª jogada)-> (112, 144) ...]

b) 1ª solução: Após qualquer jogada, o perdedor não pode ter mais que 127 palitos; de fato, se isso ocorresse, antes dessa jogada ele teria pelo menos 2 \times 128 = 256 palitos, o que não pode acontecer. O ganhador terá então no mínimo 256 - 127 = 129 palitos; logo, o ganhador da jogada anterior é aquele que tem mais palitos.

2ª solução: Suponhamos que em um dado momento Fernando tem x palitos e Isaura tem y palitos; notamos que como x + y = 256, que é um número par, então x e y são ambos pares ou ambos ímpares. Se o jogo ainda não acabou, então x e y são pares, e depois da jogada seguinte podem acontecer as seguintes situações:

saiu par: nesse caso Fernando fica com \frac{x}{2} palitos e Isaura com y + \frac{x}{2} palitos, ou seja, Isaura fica com mais palitos do que Fernando;
saiu ímpar: nesse caso Fernando fica com x + \frac{y}{2} palitos e Isaura com \frac{y}{2} palitos, ou seja, Fernando fica com mais palitos do que Isaura.

Isso mostra que basta saber quem tem o maior número de palitos para determinar o resultado da última jogada: se Isaura tiver mais, o resultado foi par e se Fernando tiver mais, o resultado foi ímpar. No nosso caso, a partida acabou quando Fernando ficou com 101 palitos e Isaura com 256 - 101 = 155 palitos. Logo o resultado da última jogada foi par.

c) Aplicamos o raciocínio do item (b) para recuperar as jogadas uma a uma em ordem inversa, do seguinte modo:

Fernando	Isaura
101	155	Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha 2 \times 101 = 202 palitos e Isaura tinha 256 - 202 = 54 palitos;
202	54	Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha 2 \times 54 = 108 palitos e Fernando tinha 256 - 108 = 148 palitos;
148	108	Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha 2 \times 108 = 216 palitos e Isaura tinha 256 - 216 = 40 palitos;
40	216	Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha 2 \times 40 = 80 palitos e Fernando tinha 256 - 80 = 176 palitos;
80	176	Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha 2 \times 80 = 160 palitos e Fernando tinha 256 - 160 = 96 palitos;
160	96	Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha 2 \times 96 = 192 palitos e Fernando tinha 256 - 192 = 64 palitos;
64	192	Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha 2 \times 64 = 128 palitos e Isaura tinha 256 - 128 = 128 palitos. Essa é a situação inicial do jogo.

Logo a seqüência de jogadas dessa partida foi par, ímpar, par, par, ímpar, ímpar, par.

d) Vamos aproveitar o trabalho do item anterior e fazer o seguinte diagrama do número de palitos de Fernando e Isaura, jogada a jogada:

Fernando	128 = 2^7 \times 1	64 = 2^6 \times 1	160 = 2^5 \times 5	80 = 2^4 \times 5	40 = 2^3 \times 5	148 = 2^2 \times 37	202 = 2^1 \times 101	101 = 2^0 \times 101
Isaura	128 = 2^7 \times 1	192 = 2^6 \times 3	96 = 2^5 \times 3	176 = 2^4 \times 11	216 = 2^3 \times 27	108 = 2^2 \times 27	54 = 2^1 \times 27	155 = 2^0 \times 155

Esse diagrama e outros exemplos semelhantes sugerem que, em um momento qualquer de uma partida, o número de palitos de Fernando e o número de palitos de Isaura se escrevem, respectivamente, como 2^n a e 2^n b, onde a e b são inteiros ímpares. Além disso, se o jogo não acabou, então depois da próxima jogada eles terão 2^{n-1} a' e 2^{n-1} b' palitos, respectivamente, onde a' e b' também são inteiros ímpares.

Vamos mostrar que essas afirmativas são verdadeiras. Suponhamos que em alguma etapa de uma partida os dois jogadores têm, respectivamente, 2^n a e 2^n b palitos, onde a e b são inteiros ímpares, e que o jogo não acabou, ou seja, que n \ge 1. Se a próxima jogada sair par, então Fernando ficará com \frac{2^n a}{2} = 2^{n-1} a palitos e Isaura ficará com 2^{n-1} a + 2^n b = 2^{n-1}(a + 2b) palitos. Como a é ímpar então b' = a + 2b também é ímpar. Desse modo, após essa jogada, Fernando e Isaura ficarão com 2^{n-1} a e 2^{n-1} b' palitos, onde a e b' são ímpares. Um argumento idêntico leva à mesma conclusão no caso em que a próxima jogada sair ímpar, e acabamos de provar nossa afirmativa.

O jogo começa com ambos os jogadores com 128 = 2^7 \times 1 palitos, ou seja, com n = 7. Como uma partida acaba quando n = 0 e n decresce de uma unidade a cada jogada, segue imediatamente que qualquer partida acaba depois da sétima jogada.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Se sai ímpar, Isaura dá metade dos palitos dela a Fernando.

1ª jogada (ímpar): Isaura dá 64, então Fernando fica com 192 e Isaura com 64.
2ª jogada (ímpar): Isaura dá 32, então Fernando fica com 224 e Isaura com 32.
3ª jogada (par): Fernando dá metade de 224, que é 112, então Fernando fica com 112 e Isaura com 144.

O esquema fica (128,128)\to(192,64)\to(224,32)\to(112,144).

Resposta: (192,64), (224,32), (112,144).

b) O total de palitos é sempre 256. Se Fernando termina com 101, Isaura termina com 155.

Se a última jogada fosse ímpar, Isaura teria dado metade dos palitos dela e ficado com 155. Antes ela teria 310, mais que o total de 256. Isso é impossível.

Se a última jogada foi par, Fernando tinha 202 e deu 101. Isaura tinha 54 e passou a ter 155. Isso é possível.

Resposta: saiu par.

c) Vamos voltar no tempo a partir de (101,155). Desfazer um par dobra os palitos de Fernando e tira de Isaura o que ele deu. Desfazer um ímpar dobra os de Isaura e tira de Fernando o que ela deu. Nenhum número pode passar de 256, e todos os estados anteriores têm números pares, senão a partida teria acabado antes.

(101,155) veio de (202,54) por par.
(202,54): desfazer par daria 404, impossível. Veio de (148,108) por ímpar.
(148,108): desfazer par daria 296, impossível. Veio de (40,216) por ímpar.
(40,216): desfazer ímpar daria 432, impossível. Veio de (80,176) por par.
(80,176): desfazer ímpar daria 352, impossível. Veio de (160,96) por par.
(160,96): desfazer par daria 320, impossível. Veio de (64,192) por ímpar.
(64,192): desfazer ímpar daria 384, impossível. Veio de (128,128) por par.

Lendo do início ao fim, a sequência é par, ímpar, par, par, ímpar, ímpar, par.

Resposta: par, ímpar, par, par, ímpar, ímpar, par.

d) Vamos mostrar por indução que, depois de k jogadas (k\le 7), os dois números são múltiplos ímpares de 2^{7-k}, ou seja, da forma 2^{7-k}\cdot(\text{ímpar}).

Para k=0: 128=2^7\cdot 1 para os dois. Vale.
Passo: antes de uma jogada, seja u=2^{7-k} com u\ge 2 (ou seja, k\le 6). Os números são up e uq, com p e q ímpares. Quem dá fica com \frac{u}{2}p. Quem recebe fica com uq+\frac u2 p=\frac u2(2q+p). Como 2q+p é ímpar, os dois números são múltiplos ímpares de \frac u2=2^{7-(k+1)}.

Para k\le 6, os números são múltiplos de 2^{7-k}\ge 2, portanto ambos pares, e a partida não terminou. Para k=7, os dois são múltiplos ímpares de 2^0=1, ou seja, ambos ímpares, e a partida acaba.

Logo, qualquer partida acaba exatamente na 7ª jogada.

Resposta: qualquer partida acaba com exatamente 7 jogadas.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2007 · Questão 6 (Nível 2)Fernando Isaura Fernando Isaura Fernando Isaura Fernando Isaura :---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: 128 128

Ver como caiu na prova

Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗