Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2007

Question

Dado um pentágono regular, dizemos que um ponto é legal quando:

ele é um dos vértices do pentágono, ou
ele é a interseção de segmentos cujos extremos são pontos legais; esses segmentos são chamados segmentos legais.

A figura mostra como triangular legalmente (isto é, decompor em partes triangulares usando somente segmentos legais) um pentágono em 3, 5, 9 e 11 triângulos. Os pequenos círculos indicam os pontos legais que aparecem a cada etapa. Note que a decomposição na quinta etapa não é uma triangulação legal, pois uma de suas partes é um quadrilátero.

Sequência de sete etapas de divisão de um pentágono regular por segmentos ligando pontos legais, com setas entre elas, mostrando decomposições em 3, 5, 9 e 11 triângulos, com círculos indicando os novos pontos legais obtidos por interseções.

(a) Desenhe uma triangulação legal do pentágono em 7 triângulos.

(b) Mostre como triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar (maior que 1) de triângulos (a figura ao lado pode ajudar).

Pentágono regular com todas as suas diagonais traçadas, formando uma estrela de cinco pontas em seu interior.

(c) Mostre que não é possível triangular legalmente o pentágono em um número par de triângulos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Dado um pentágono regular, dizemos que um ponto é legal quando:

ele é um dos vértices do pentágono, ou
ele é a interseção de segmentos cujos extremos são pontos legais; esses segmentos são chamados segmentos legais.

A figura mostra como triangular legalmente (isto é, decompor em partes triangulares usando somente segmentos legais) um pentágono em 3, 5, 9 e 11 triângulos. Os pequenos círculos indicam os pontos legais que aparecem a cada etapa. Note que a decomposição na quinta etapa não é uma triangulação legal, pois uma de suas partes é um quadrilátero.

Sequência de sete etapas de divisão de um pentágono regular por segmentos ligando pontos legais, com setas entre elas, mostrando decomposições em 3, 5, 9 e 11 triângulos, com círculos indicando os novos pontos legais obtidos por interseções.

(a) Desenhe uma triangulação legal do pentágono em 7 triângulos.

(b) Mostre como triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar (maior que 1) de triângulos (a figura ao lado pode ajudar).

Pentágono regular com todas as suas diagonais traçadas, formando uma estrela de cinco pontas em seu interior.

(c) Mostre que não é possível triangular legalmente o pentágono em um número par de triângulos.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A figura à direita mostra duas soluções para o problema. [Figura: dois pentágonos regulares divididos em 7 triângulos por segmentos internos, mostrando duas soluções distintas]

b) 1^a solução: A figura do enunciado mostra que ao traçar as cinco diagonais do pentágono obtemos 10 triângulos e um novo pentágono central. A repetição desse processo n vezes (pensamos na repetição de 0 vezes como não tendo feito nada) tem como resultado 10n triângulos e um pentágono central, que podemos dividir em 3, 5, 7, 9, ou 11 triângulos como mostrado no enunciado. Desse modo, podemos triangular legalmente o pentágono em 10n + r triângulos onde r pode ser 1, 3, 5, 7 ou 9; como qualquer número ímpar se escreve dessa forma segue que podemos triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar de triângulos. Por exemplo, para triangular legalmente o pentágono em 229 triângulos escrevemos 229 = 10 \times 22 + 9 , efetuamos o processo de divisão por diagonais 10 vezes e finalmente dividimos o pentágono central em 9 triângulos.

[Figura: Figura I mostra um pentágono com uma triangulação legal em 7 triângulos, com um dos triângulos destacados em traço mais grosso. Figura II mostra esse triângulo destacado subdividido em três triângulos menores, com o triângulo superior destacado em traço mais grosso.]

2^a solução: a figura I à esquerda mostra uma divisão do pentágono em sete triângulos, onde destacamos uma parte em traço mais grosso. Podemos dividir legalmente essa parte de modo a gerar dois triângulos adicionais, como na figura II. Esse processo pode ser repetido na parte análoga destacada nessa última figura, gerando mais dois triângulos e outra figura análoga onde o processo pode ser repetido novamente, e assim por diante gerando dois novos triângulos em cada etapa. Isso mostra que, começando de uma triangulação com 7 triângulos, podemos obter qualquer número ímpar de triângulos.

c) 1ª solução: consideremos um pentágono triangulado legalmente, e sejam n o número de triângulos e m o número de pontos legais interiores dessa divisão. A soma dos ângulos de todos os triângulos é 180n graus. Por outro lado, essa soma é igual à soma dos ângulos em volta dos pontos legais interiores mais a soma dos ângulos internos do pentágono, ou seja, é igual a 360m + 540 graus. Logo 180n = 360n + 540 , ou seja, n = 2m + 3 que é um número ímpar.

Exemplificamos essa demonstração com a figura ao lado, onde n = 7 e m = 2.

[Figura: pentágono com triangulação legal em 7 triângulos, com os 2 vértices interiores e os 5 vértices do pentágono destacados por círculos cinzas]

2ª solução: consideremos como acima um pentágono triangulado legalmente em n triângulos, e seja m o número total de lados desses triângulos. Ao contar os lados desses triângulos um por um, teremos dois casos: (i) contar um lado comum a dois triângulos e (ii) contar um dos lados do pentágono. No primeiro caso, cada lado é contado duas vezes; no segundo caso temos apenas os lados do pentágono. Obtemos então m = \frac{3n - 5}{2} + 5 ; como m e n são números inteiros segue que \frac{3n - 5}{2} também é inteiro, ou seja, 3n - 5 é par, donde n é ímpar. A figura usada na solução anterior exemplifica essa demonstração no caso n = 7 e m = 13.

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Resolução comentada

a)

Nomeie os vértices A,B,C,D,E, nessa ordem, ao redor do pentágono, com A no alto. Para obter o desenho pedido, trace as diagonais AC, AD e BD e marque

P=AC\cap BD.

Depois, trace EP e marque

Q=EP\cap AD.

Todos esses segmentos são legais: as diagonais ligam vértices do pentágono, e EP liga o vértice E ao ponto legal P.

Antes de traçar EP, temos cinco triângulos. Esse segmento atravessa os triângulos ADE e ADP, dividindo cada um deles em dois. Assim, as sete regiões finais são

ABP,\ BCP,\ CDP,\ DPQ,\ APQ,\ AEQ,\ DEQ.

As diagonais AC, AD, BD e o segmento EP formam uma triangulação legal em 7 triângulos.

b)

Trace todas as diagonais do pentágono, como na figura F2. Elas formam dez triângulos em torno de um pentágono regular menor, cujos vértices são pontos legais.

Como esse pentágono central também é regular, podemos repetir nele qualquer construção legal feita no pentágono original. Os novos pontos continuam sendo legais, pois são obtidos por interseções de segmentos com extremos legais.

Portanto, se sabemos triangular legalmente um pentágono regular em n triângulos, podemos triangular o original em n+10: basta usar essa construção no pentágono central.

O enunciado fornece triangulações em 3, 5, 9 e 11 triângulos, e o item a fornece uma em 7. Todo número ímpar maior que 1 pode ser escrito como

r+10k,\qquad r\in\{3,5,7,9,11\},\quad k\geq 0.

Repetindo a construção dos dez triângulos externos, obtemos todos os números ímpares de triângulos maiores que 1.

c)

Primeiro, observe que não surgem novos pontos legais na borda do pentágono. Pela convexidade, um segmento entre pontos do pentágono só pode conter um ponto interno de um lado, sem que ele seja seu extremo, se estiver sobre esse lado. Assim, as interseções que criam novos pontos legais ficam no interior do pentágono.

Sejam I o número de vértices interiores da triangulação e T o número de triângulos. Vamos somar os ângulos de todos eles.

Em cada vértice interior, os ângulos somam 360^\circ. Nos cinco vértices originais, somam os ângulos internos do pentágono, isto é, 540^\circ. Logo,

180^\circ T=540^\circ+360^\circ I.

Dividindo por 180^\circ, obtemos

T=3+2I.

Como 3+2I é sempre ímpar, não existe triangulação legal com um número par de triângulos.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗