Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2007

Question

(a) Complete a tabela abaixo, lembrando que a soma de todos os ângulos internos é de um polígono regular de n lados é (n-2)\times 180^\circ.

n	Soma dos ângulos internos	Ângulo interno
3	180^\circ	60^\circ
4	360^\circ	90^\circ
5
6
8

Dizemos que três ou mais polígonos regulares se encaixam se é possível colocá-los em torno de um vértice comum, sem sobreposição, de modo que cada lado que parte desse vértice é comum a dois desses polígonos. Na figura vemos dois exemplos de polígonos que se encaixam.

Dois exemplos de polígonos regulares que se encaixam ao redor de um vértice comum marcado por um ponto cinza: à esquerda, três triângulos equiláteros e dois quadrados com a legenda "Três triângulos e dois quadrados"; à direita, um decágono e dois pentágonos com a legenda "Um decágono e dois pentágonos".

(b) Um quadrado e dois octógonos (polígonos regulares de oito lados) se encaixam? Justifique sua resposta.

(c) Um triângulo equilátero, um heptágono (polígono regular de sete lados) e um outro polígono se encaixam. Quantos lados tem esse polígono?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

(a) Complete a tabela abaixo, lembrando que a soma de todos os ângulos internos é de um polígono regular de n lados é (n-2)\times 180^\circ.

n	Soma dos ângulos internos	Ângulo interno
3	180^\circ	60^\circ
4	360^\circ	90^\circ
5
6
8

Dizemos que três ou mais polígonos regulares se encaixam se é possível colocá-los em torno de um vértice comum, sem sobreposição, de modo que cada lado que parte desse vértice é comum a dois desses polígonos. Na figura vemos dois exemplos de polígonos que se encaixam.

Dois exemplos de polígonos regulares que se encaixam ao redor de um vértice comum marcado por um ponto cinza: à esquerda, três triângulos equiláteros e dois quadrados com a legenda "Três triângulos e dois quadrados"; à direita, um decágono e dois pentágonos com a legenda "Um decágono e dois pentágonos".

(b) Um quadrado e dois octógonos (polígonos regulares de oito lados) se encaixam? Justifique sua resposta.

(c) Um triângulo equilátero, um heptágono (polígono regular de sete lados) e um outro polígono se encaixam. Quantos lados tem esse polígono?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para completar a primeira coluna da tabela basta substituir os valores n = 5, 6, 8 na fórmula (n - 2) \times 180^\text{o}. Para completar a segunda coluna, basta dividir os valores da primeira coluna pelo valor correspondente de n, ou seja, calcular \frac{(n - 2) \times 180^\text{o}}{n}; a justificativa para essa expressão é que polígono de n lados tem n ângulos internos iguais, cuja soma é (n - 2) \times 180^\text{o}. A tabela completa é dada abaixo.

n	Soma dos ângulos internos	Ângulo interno
3	180^\text{o}	60^\text{o}
4	360^\text{o}	90^\text{o}
5	540^\text{o}	108^\text{o}
6	720^\text{o}	120^\text{o}
8	1080^\text{o}	135^\text{o}

b) O ângulo interno de um quadrado é 90^\text{o} e o de um octógono regular é 135^\text{o}. Para que alguns polígonos regulares se encaixem, a soma de seus ângulos internos deve ser 360^\text{o}. Como 90^\text{o} + 135^\text{o} + 135^\text{o} = 360^\text{o}, segue que um quadrado e dois octógonos regulares se encaixam.

[Figura: Encaixe de um quadrado e dois octógonos regulares ao redor de um vértice comum.]

c) [Figura: Encaixe de um triângulo equilátero, um heptágono regular e um polígono regular de 42 lados ao redor de um vértice comum.]

O ângulo interno de um triângulo equilátero é 60^\text{o} e o de um heptágono regular é \frac{7 - 2}{7} \times 180^\text{o} = \frac{5}{7} \times 180^\text{o}. Seja n o número de lados do terceiro polígono; o ângulo interno desse polígono é então \frac{n - 2}{n} \times 180^\text{o}. Como os três polígonos se encaixam, temos

60^\text{o} + \frac{5}{7} \times 180^\text{o} + \frac{n - 2}{n} \times 180^\text{o} = 360^\text{o}.

Logo

1 + \frac{5}{7} \times 3 + \frac{n - 2}{n} \times 3 = 6

ou seja, 7n + 15n + 21(n - 2) = 42n, donde n = 42.

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Resolução comentada

a) A soma dos ângulos internos é (n-2)\times 180^\circ. Como o polígono é regular, todos os ângulos são iguais, e o ângulo interno é a soma dividida por n.

n=5: soma 3\times180^\circ=540^\circ, ângulo 540^\circ\div5=108^\circ.
n=6: soma 4\times180^\circ=720^\circ, ângulo 720^\circ\div6=120^\circ.
n=8: soma 6\times180^\circ=1080^\circ, ângulo 1080^\circ\div8=135^\circ.

Tabela: n=5: 540^\circ e 108^\circ; n=6: 720^\circ e 120^\circ; n=8: 1080^\circ e 135^\circ.

b) Polígonos se encaixam quando seus ângulos internos, juntos em torno do vértice, completam exatamente 360^\circ. Aqui temos um quadrado (90^\circ) e dois octógonos (135^\circ cada):

90^\circ+135^\circ+135^\circ=360^\circ

A soma é 360^\circ, então não há sobreposição nem espaço vazio.

Sim, eles se encaixam, pois 90^\circ+135^\circ+135^\circ=360^\circ.

c) O ângulo do triângulo é 60^\circ. O do heptágono é

\frac{5\times180^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.

O ângulo que falta para completar 360^\circ é

360^\circ-60^\circ-\frac{900^\circ}{7}=\frac{2520^\circ-420^\circ-900^\circ}{7}=\frac{1200^\circ}{7}.

O ângulo interno de um polígono regular de n lados é 180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n} (equivale a \dfrac{(n-2)180^\circ}{n}). Então:

180^\circ-\frac{360^\circ}{n}=\frac{1200^\circ}{7}\Rightarrow \frac{360^\circ}{n}=\frac{60^\circ}{7}\Rightarrow n=42.

Conferindo: 180^\circ-\frac{360^\circ}{42}=180^\circ-\frac{60^\circ}{7}=\frac{1200^\circ}{7}.

O outro polígono tem 42 lados.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗