Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007

Question

A professora da Dorinha passou para seus alunos um questionário com duas perguntas: (1) “Você come peixe?” e (2) “Você come verdura?”. Todos os alunos responderam às duas perguntas e a professora, depois de ler as respostas, calculou as frações

\frac{\text{número de alunos que comem peixe}}{\text{total de alunos}} = \frac{13}{18} \quad \text{e} \quad \frac{\text{número de alunos que comem verdura}}{\text{total de alunos}} = \frac{5}{12}.

(a) Ajude a professora, completando a tabela com as frações que estão faltando.

(b) Observando a tabela, Dorinha afirmou que havia alunos que comiam tanto peixe como verdura. Explique como ela chegou a essa conclusão.

(c) Analisando os questionários, a professora notou que todos os alunos que comem verdura também comem peixe e que 22 alunos comem peixe mas não comem verdura. Quantos alunos não comem verdura?

Ilustração de uma menina sorridente sentada à mesa saboreando um prato com peixe e acompanhamentos

(a)

	peixe	verdura
sim	\frac{13}{18}	\frac{5}{12}
não

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

A professora da Dorinha passou para seus alunos um questionário com duas perguntas: (1) “Você come peixe?” e (2) “Você come verdura?”. Todos os alunos responderam às duas perguntas e a professora, depois de ler as respostas, calculou as frações

\frac{\text{número de alunos que comem peixe}}{\text{total de alunos}} = \frac{13}{18} \quad \text{e} \quad \frac{\text{número de alunos que comem verdura}}{\text{total de alunos}} = \frac{5}{12}.

(a) Ajude a professora, completando a tabela com as frações que estão faltando.

(b) Observando a tabela, Dorinha afirmou que havia alunos que comiam tanto peixe como verdura. Explique como ela chegou a essa conclusão.

(c) Analisando os questionários, a professora notou que todos os alunos que comem verdura também comem peixe e que 22 alunos comem peixe mas não comem verdura. Quantos alunos não comem verdura?

Ilustração de uma menina sorridente sentada à mesa saboreando um prato com peixe e acompanhamentos

(a)

	peixe	verdura
sim	\frac{13}{18}	\frac{5}{12}
não

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como o número total de alunos é igual ao número de alunos que comem peixe mais o número de alunos que não comem peixe, podemos escrever

\frac{\text{não comem peixe} + \text{comem peixe}}{\text{total}} = \frac{\text{não comem peixe}}{\text{total}} + \frac{\text{comem peixe}}{\text{total}} = 1

ou seja

\frac{\text{não comem peixe}}{\text{total}} = 1 - \frac{\text{comem peixe}}{\text{total}} = 1 - \frac{13}{18} = \frac{18-13}{18} = \frac{5}{18}

De forma semelhante, calculamos a fração correspondente aos alunos que não comem verdura:

\frac{\text{não comem verdura}}{\text{total}} = 1 - \frac{\text{comem verdura}}{\text{total}} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{12-5}{18} = \frac{7}{12}

e podemos então completar a tabela:

	peixe	verdura
sim	\frac{13}{18}	\frac{5}{12}
não	\frac{5}{18}	\frac{7}{12}

b) 1ª solução: Como \frac{13}{18} > \frac{7}{12}, vemos que o número de alunos que comem peixe é maior que o número de alunos que não comem verdura. Logo, entre os alunos que comem peixe, há pelo menos um que também come verdura. Alternativamente, como \frac{5}{12} > \frac{5}{18}, vemos que o número de alunos que comem verdura é maior que o número de alunos que não comem peixe, e a conclusão segue do mesmo modo.

2ª solução: Como

\frac{\text{comem peixe} + \text{comem verdura}}{\text{total}} = \frac{\text{comem peixe}}{\text{total}} + \frac{\text{comem verdura}}{\text{total}} = \frac{13}{18} + \frac{5}{12} = \frac{26+15}{36} = \frac{41}{36} > 1

temos \textit{comem peixe} + \textit{comem verdura} > \textit{total}, o que só é possível quando pelo menos um aluno come peixe e também verdura. Alternativamente, temos \frac{5}{18} + \frac{7}{12} = \frac{31}{36} < 1, o que nos mostra que \textit{não comem peixe} + \textit{não comem verdura} < \textit{total} e a conclusão segue do mesmo modo.

c) Como todos os alunos que comem verdura também comem peixe temos

\frac{\text{comem peixe mas não comem verdura}}{\text{total}} = \frac{\text{comem peixe} - \text{comem verdura}}{\text{total}}

= \frac{\text{comem peixe}}{\text{total}} - \frac{\text{comem verdura}}{\text{total}} = \frac{13}{18} - \frac{5}{12} = \frac{26-15}{36} = \frac{11}{36}

Logo \frac{11}{36} do número total de alunos corresponde a 22 alunos. Logo \frac{1}{36} do número total de alunos corresponde a \frac{22}{11} = 2 alunos e então o número total de alunos é \frac{36}{11} \times 22 = 72. Logo o número de alunos que não comem verdura é \frac{7}{12} \times 72 = 42.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada aluno responde "sim" ou "não" a cada pergunta, então as frações de "sim" e de "não" de uma mesma coluna somam 1 (o total de alunos).

Não comem peixe: 1-\frac{13}{18}=\frac{5}{18}.
Não comem verdura: 1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}.

A tabela fica:

	peixe	verdura
sim	\frac{13}{18}	\frac{5}{12}
não	\frac{5}{18}	\frac{7}{12}

Faltam \frac{5}{18} (não comem peixe) e \frac{7}{12} (não comem verdura).

b) Compare quem não come peixe com quem come verdura. Os que não comem peixe são \frac{5}{18}=\frac{10}{36} da turma. Os que comem verdura são \frac{5}{12}=\frac{15}{36} da turma.

Se todo aluno que come verdura estivesse entre os que não comem peixe, a fração dos que comem verdura teria de ser no máximo \frac{10}{36}. Mas ela é \frac{15}{36}, maior que isso. Logo, parte dos que comem verdura também come peixe.

Outra forma de ver: \frac{13}{18}+\frac{5}{12}=\frac{26}{36}+\frac{15}{36}=\frac{41}{36}>1. A soma passa do total de alunos, então alguns foram contados duas vezes, ou seja, comem peixe e verdura.

Como a soma das frações é maior que 1 (ou \frac{5}{12}>\frac{5}{18}), há alunos que comem peixe e verdura.

c) Como todo aluno que come verdura também come peixe, os que comem verdura estão dentro dos que comem peixe. Os que comem peixe mas não verdura são:

\frac{13}{18}-\frac{5}{12}=\frac{26}{36}-\frac{15}{36}=\frac{11}{36}\text{ do total.}

Esses alunos são 22, então \frac{11}{36} do total vale 22. Como \frac{1}{36} vale 2, o total é 36\times 2=72 alunos.

Os que não comem verdura são \frac{7}{12} de 72:

\frac{7}{12}\times 72=42.

Conferindo: comem verdura \frac{5}{12}\cdot 72=30 e comem peixe \frac{13}{18}\cdot 72=52. Então 52-30=22, como no enunciado.

42 alunos não comem verdura.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗