Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2007

Resolução comentada

a) Como 57 = 3\cdot 19, os divisores de 57 são 1, 3, 19 e 57. Os algarismos das unidades são 1, 3, 9 e 7.

Os afilhados de 57 são 1, 3, 7 e 9.

b) Queremos um número com divisores terminados em 7 e em 9, mas nenhum terminado em 3. O mais simples é usar um quadrado de primo: 49 = 7^2.

Os divisores de 49 são 1, 7 e 49. Terminam em 1, 7 e 9, e nenhum termina em 3.

Outros números servem, mas 49 basta.

O número 49 serve, e seus afilhados são 1, 7 e 9.

c) Se 0 é afilhado de n, existe um divisor d de n terminado em 0, ou seja, d é múltiplo de 10.

Como d \mid n, n também é múltiplo de 10. Então 2 \mid n e 5 \mid n.

O 2 e o 5 são divisores de n e terminam em 2 e em 5, respectivamente.

Logo 2 e 5 são afilhados de qualquer número que tenha 0 entre seus afilhados.

d) Pelo item (c), se 0 é afilhado de n, então n é par.

Se 9 é afilhado, existe um divisor d de n terminado em 9. Esse d é ímpar.

Como 2 e d dividem n e não têm fator comum (2 é primo e d é ímpar), o produto 2d também divide n.

Se d termina em 9, então 2d termina em 2\cdot 9 = 18, ou seja, em 8. Assim, 2d é um divisor de n terminado em 8.

Logo 8 é afilhado de qualquer número que tenha 0 e 9 entre seus afilhados.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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