PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007
Em um tabuleiro quadrado, dividido em nove quadradinhos com lados de 1 cm, podemos fazer várias figuras pintando exatamente cinco desses quadradinhos de cinza. Dizemos que o perímetro de uma dessas figuras é o comprimento do seu contorno. Por exemplo, o perímetro das duas figuras ao lado é 14 cm.
(a) Desenhe figuras formadas por cinco quadradinhos e com os perímetros indicados.
(b) Explique porque o maior perímetro possível de uma figura formada por cinco quadradinhos é 20 cm.
(c) Explique porque o perímetro de qualquer figura formada por cinco quadradinhos é um número par de centímetros.
(a)
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Resolução comentada
a) Cada quadradinho tem perímetro 4\ \text{cm}, então cinco quadradinhos soltos somariam 20\ \text{cm}. Cada lado que dois quadradinhos pintados compartilham deixa de fazer parte do contorno e tira 2\ \text{cm} da soma. Com k lados compartilhados, o perímetro é P = 20 - 2k. Numerando linhas de cima para baixo e colunas da esquerda para a direita, indico cada quadradinho pintado como (linha, coluna):
- Perímetro 10 cm (k=5): (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) e (1,3). É um quadrado 2\times 2 com um quadradinho colado ao lado.
- Perímetro 12 cm (k=4): (1,1), (1,2), (1,3), (2,1) e (3,1). É um "L" com braços de 3 quadradinhos.
- Perímetro 16 cm (k=2): (1,1), (1,2), (1,3), (3,1) e (3,3). É a linha de cima inteira e os dois cantos de baixo, que não encostam em nada.
- Perímetro 20 cm (k=0): (1,1), (1,3), (2,2), (3,1) e (3,3). São os quatro cantos e o centro, e nenhum par divide um lado, só vértices.
O perímetro da figura de 16 cm confere: 20 - 2\cdot 2 = 16. Os outros também conferem com P = 20 - 2k.
Respostas: as figuras descritas acima.
b) Cada quadradinho tem 4 lados de 1\ \text{cm}, então os cinco juntos têm 5\cdot 4 = 20\ \text{cm} de lados. O contorno da figura é formado apenas por lados que não são compartilhados com outro quadradinho pintado. Assim, o contorno nunca passa de 20\ \text{cm}.
O valor 20 acontece quando nenhum lado é compartilhado. Isso é possível, como mostra a figura de 20 cm do item (a). Logo, o maior perímetro possível é 20 cm.
c) Cada lado compartilhado por dois quadradinhos pintados some do contorno e é descontado duas vezes, uma de cada quadradinho. Com k lados compartilhados:
Como 20 e 2k são pares, a diferença também é par. Logo, o perímetro de qualquer figura de cinco quadradinhos é um número par de centímetros.
Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗