PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007
Um antigo método para codificar palavras consiste em escolher um número de 1 a 26, chamado chave do código, e girar o disco interno do aparelho ilustrado na figura até que essa chave corresponda à letra A. Depois disso, as letras da palavra são substituídas pelos números correspondentes, separados por tracinhos. Por exemplo, na figura ao lado a chave é 5 e a palavra PAI é codificada como 20-5-13.
(a) Usando a chave indicada na figura, descubra qual palavra foi codificada como 23-25-7-25-22-13.
(b) Codifique OBMEP usando a chave 20.
(c) Chicó codificou uma palavra de 4 letras com a chave 20, mas esqueceu-se de colocar os tracinhos e escreveu 2620138. Ajude o Chicó colocando os tracinhos que ele esqueceu e depois escreva a palavra que ele codificou.
(d) Em uma outra chave, a soma dos números que representam as letras A, B e C é 52. Qual é essa chave?
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Resolução comentada
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a) Com a chave 5, a letra A corresponde ao número 5, B ao 6, C ao 7 e assim por diante. Cada número vale a posição da letra no alfabeto mais 4. Se passar de 26, volta-se ao 1. Para decodificar, subtraímos 4 do número.
- 23 → 19ª letra: S
- 25 → 21ª letra: U
- 7 → 3ª letra: C
- 25 → U
- 22 → 18ª letra: R
- 13 → 9ª letra: I
A palavra é SUCURI.
SUCURI
b) Com a chave 20, A=20, B=21, C=22, D=23, E=24, F=25, G=26. Depois do 26 o disco recomeça: H=1, I=2, J=3, K=4, L=5, M=6, N=7, O=8, P=9.
Para as letras de OBMEP, temos:
- O → 8
- B → 21
- M → 6
- E → 24
- P → 9
O código é 8-21-6-24-9.
8-21-6-24-9
c) Com a chave 20, os números vão de 1 a 26, então cada bloco tem no máximo dois algarismos. Em 2620138 precisamos formar 4 números.
Se o primeiro número fosse 2, o resto seria 620138. O próximo número seria 6 e depois 20138. Daí viria 20, sobrando 138, que não cabe em um único número de 1 a 26. Logo, o primeiro número é 26.
Sobra 20138. Começando por 20, sobra 138, que é separado em 13 e 8 (ambos válidos).
Os tracinhos ficam: 26-20-13-8.
Na chave 20: 26=G, 20=A, 13=T (pois S=12) e 8=O. A palavra é GATO.
26-20-13-8, palavra GATO
d) As letras A, B e C têm números consecutivos, pois o disco gira em ordem. Se não houvesse volta de 26 para 1, a soma seria x+(x+1)+(x+2)=3x+3=52, e daria x=\frac{49}{3}, que não é inteiro. Então há a volta no disco.
Testamos as possibilidades em que ela ocorre:
- A=25, B=26, C=1: soma 25+26+1=52 ✓.
- A=26, B=1, C=2: soma 29 ✗.
Portanto A corresponde a 25, e a chave é 25.
Chave 25
Assunto: Sistemas de numeração.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗