PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006
(a) Severina escreveu um número inteiro positivo em cada lado de um quadrado. Em seguida, escreveu em cada vértice o produto dos números escritos nos lados que se encontram nesse vértice. A soma dos números escritos em dois lados opostos é 60 e a soma dos números escritos nos outros lados é 85. Qual é a soma dos números escritos nos vértices?
(b) Catarina, por sua vez, escreveu em cada face de um cubo um número inteiro positivo. Em seguida, escreveu em cada vértice o produto dos números escritos nas três faces que se encontram nesse vértice. Se a soma dos números escritos nos vértices é 105, qual é a soma dos números escritos nas faces?
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a) Chame de a e c os números em dois lados opostos, e de b e d os números nos outros dois lados. Cada vértice é o encontro de um lado de cada par, então os produtos nos vértices são ab, bc, cd e da.
Somando e fatorando:
Como a+c=60 e b+d=85:
A soma dos números nos vértices é 5100.
b) Agrupe as faces em três pares de faces opostas: (a,a'), (b,b'), (c,c'). Cada vértice do cubo pertence a exatamente uma face de cada par. Assim, os 8 vértices correspondem aos 8 produtos possíveis, escolhendo uma face de cada par.
A soma desses 8 produtos é a expansão de:
Cada fator é soma de dois inteiros positivos, logo é pelo menos 2. Como 105=3\cdot5\cdot7 tem exatamente três fatores primos, a única forma de escrevê-lo como produto de três inteiros maiores ou iguais a 2 é 3\cdot5\cdot7, em alguma ordem.
Portanto as somas de cada par de faces opostas são 3, 5 e 7, e a soma de todas as faces é:
A soma dos números nas faces é 15.
Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗