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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Os alunos do professor Augusto Matraga fizeram quatro provas bimestrais no ano. O professor pede a cada aluno que escolha três dessas provas e depois calcula a média anual, até a primeira casa depois da vírgula, pela fórmula

Desenho de um garoto com expressão de dúvida olhando para uma folha de boletim escolar, com pontos de interrogação flutuando sobre sua cabeça.

\text{média anual} = \frac{10 \times (\text{total de questões respondidas corretamente nas três provas escolhidas})}{\text{total de questões das três provas escolhidas}}.

Veja os resultados do aluno Quim durante o ano:

Resultados do Quim
Bimestre 1o 2o 3o 4o
Questões respondidas corretamente 20 6 32 40
Número de questões da prova 20 10 40 40

(a) Qual será a média anual do Quim se ele escolher as provas dos três primeiros bimestres? E se ele escolher as provas dos três últimos?

(b) Complete a tabela abaixo com a porcentagem de acertos do Quim em cada prova.

Bimestre 1o 2o 3o 4o
Porcentagem de Acerto

(c) Quim acha que sua média anual será a mais alta possível se escolher as três provas com as maiores porcentagens de acerto. Ele está certo? Por quê?

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) A fórmula divide o total de acertos pelo total de questões das três provas e multiplica por 10. Não é a média das notas de cada prova.

  • Três primeiros bimestres: acertos 20+6+32=58 e questões 20+10+40=70.
\text{média}=\frac{10\times 58}{70}=\frac{580}{70}\approx 8{,}29\approx 8{,}3
  • Três últimos bimestres: acertos 6+32+40=78 e questões 10+40+40=90.
\text{média}=\frac{10\times 78}{90}=\frac{780}{90}\approx 8{,}67\approx 8{,}7

Primeiros três: 8,3; últimos três: 8,7.

b) A porcentagem de acerto é acertos dividido por questões da prova.

  • 1º: \frac{20}{20}=100\%
  • 2º: \frac{6}{10}=60\%
  • 3º: \frac{32}{40}=80\%
  • 4º: \frac{40}{40}=100\%

100%, 60%, 80% e 100%.

c) As três maiores porcentagens são as do 1º (100%), do 4º (100%) e do 3º (80%). A média com essas provas é:

\frac{10\times(20+32+40)}{20+40+40}=\frac{920}{100}=9{,}2

Como a média depende do total de questões, e não só das porcentagens, é preciso comparar todas as escolhas possíveis. Há quatro, cada uma deixando uma prova de fora:

  • 1º, 2º e 3º: 8{,}3.
  • 2º, 3º e 4º: 8{,}7.
  • 1º, 3º e 4º: 9{,}2.
  • 1º, 2º e 4º: acertos 20+6+40=66 e questões 20+10+40=70, logo \frac{660}{70}\approx 9{,}43\approx 9{,}4.

A maior média sai com as provas 1º, 2º e 4º, e não com as de maiores porcentagens. A prova do 2º bimestre, mesmo com a menor porcentagem, tem poucas questões e quase não pesa no total. Já a prova do 3º bimestre, com 40 questões, entra com muito peso e puxa a média para baixo, porque 80% é menos que 100%.

Quim não está certo: a melhor média é 9,4, com as provas do 1º, 2º e 4º bimestres, e a escolha dele daria 9,2.

Assunto: Média aritmética e ponderada.

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Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗