Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

Miguilim brinca com dois triângulos iguais cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 6 cm. Ele forma figuras planas unindo um lado de um triângulo com um lado do outro, sem que um triângulo fique sobre o outro. Abaixo vemos duas das figuras que ele fez.

Figura I: dois triângulos unidos com lados medindo 4 e 6
Figura II: dois triângulos unidos com lados medindo 3 e 4
Desenho de Miguilim apoiado sobre uma mesa juntando dois triângulos de papel

(a) Quais os comprimentos dos lados que foram unidos nas figuras I e II?

(b) Calcule os perímetros das figuras I e II.

(c) Qual o menor perímetro de uma figura que Miguilim pode formar? Desenhe duas figuras que ele pode formar com esse perímetro.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Miguilim brinca com dois triângulos iguais cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 6 cm. Ele forma figuras planas unindo um lado de um triângulo com um lado do outro, sem que um triângulo fique sobre o outro. Abaixo vemos duas das figuras que ele fez.

Figura I: dois triângulos unidos com lados medindo 4 e 6
Figura II: dois triângulos unidos com lados medindo 3 e 4
Desenho de Miguilim apoiado sobre uma mesa juntando dois triângulos de papel

(a) Quais os comprimentos dos lados que foram unidos nas figuras I e II?

(b) Calcule os perímetros das figuras I e II.

(c) Qual o menor perímetro de uma figura que Miguilim pode formar? Desenhe duas figuras que ele pode formar com esse perímetro.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A solução desse item segue diretamente da observação das figuras. Na figura I, vemos que

as medidas de dois lados que não foram unidos são 4\text{ cm} e 6\text{ cm};
os dois lados que foram unidos são do mesmo tamanho, logo eles não podem medir nem 4\text{ cm} nem 6\text{ cm}.

Portanto os lados que foram unidos só podem medir 3\text{ cm}.

Na figura II, vemos que o maior lado de um dos triângulos (que mede 6\text{ cm}) foi unido ao menor lado do outro triângulo (que mede 3\text{ cm}). Portanto, os lados unidos medem 6\text{ cm} e 3\text{ cm}.

b) A solução segue do item (a), que fornece as medidas dos lados que não foram unidos. Logo

o perímetro da figura I é 4 + 6 + 4 + 6 = 20\text{ cm};
o perímetro da figura II é 6 + 4 + 3 + 4 + (6 - 3) = 20\text{ cm}. Foi subtraído 3\text{ cm} correspondente ao lado do triângulo que foi unido e não conta no perímetro da figura II.

c) Da maneira como Miguilim forma as figuras, ele conseguirá a de menor perímetro quando unir os lados maiores, isto é os de 6\text{ cm} (já que eles não contarão no cálculo do perímetro). Veja abaixo as duas figuras que ele pode formar assim. O perímetro de cada uma é 2 \times 3 + 2 \times 4 = 14\text{ cm}.

[Figura: Dois quadriláteros formados cada um pela junção de dois triângulos congruentes pelo lado comum central. O primeiro quadrilátero tem lados superiores medindo 4 e 3, e lados inferiores medindo 4 e 3. O segundo quadrilátero tem lados superiores medindo 3 e 4, e lados inferiores medindo 4 e 3.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a)

O lado usado na união fica no interior da figura e deixa de fazer parte do contorno naquele trecho.

Na figura I, os lados de 4\ \text{cm} e 6\ \text{cm} ficam no contorno de cada triângulo. Portanto, os dois lados unidos medem 3\ \text{cm}.

Na figura II, o lado de 3\ \text{cm} de um triângulo está encostado em uma parte do lado de 6\ \text{cm} do outro. Assim, o trecho comum mede apenas 3\ \text{cm}, embora um dos lados envolvidos meça 6\ \text{cm}.

Figura I: lados de 3\ \text{cm} e 3\ \text{cm}. Figura II: lados de 3\ \text{cm} e 6\ \text{cm}.

b)

O perímetro é a soma dos comprimentos do contorno externo. Cada triângulo tem perímetro

3+4+6=13\ \text{cm}.

Somando os perímetros dos dois triângulos, obtemos 26\ \text{cm}. Porém, contamos duas vezes o trecho de contato, que fica dentro da figura e não pertence ao contorno externo. Por isso, devemos descontá-lo duas vezes.

Nas duas figuras, o trecho comum mede 3\ \text{cm}. Logo,

P_{\mathrm{I}}=P_{\mathrm{II}}=26-2\cdot3=20\ \text{cm}.

Na figura II, é importante não descontar todo o lado de 6\ \text{cm}: metade dele continua exposta.

Os perímetros das figuras I e II são ambos iguais a 20\ \text{cm}.

c)

Quanto maior for o trecho comum, menor será o perímetro da figura. Se esse trecho mede x, então

P=26-2x.

Como o maior lado de cada triângulo mede 6\ \text{cm}, o maior contato possível é de 6\ \text{cm}. Unindo inteiramente esses lados, temos

P_{\min}=26-2\cdot6=14\ \text{cm}.

Podemos fazer isso de duas maneiras, como nos esquemas abaixo, fora de escala.

Um paralelogramo, com AB=CD=4\ \text{cm} e BC=AD=3\ \text{cm}. A diagonal AC, desenhada internamente, é o lado comum de 6\ \text{cm}:

       B───────C
      ╱     ╱ ╱
     ╱   ╱   ╱
    ╱ ╱     ╱
   A───────D

Um deltoide (formato de pipa), com AC=AD=3\ \text{cm} e BC=BD=4\ \text{cm}. Agora, o segmento interno AB é o lado comum de 6\ \text{cm}:

        C
      ╱     ╲
    ╱         ╲
  A────────────────B
    ╲         ╱
      ╲     ╱
        D

O menor perímetro é 14\ \text{cm}, obtido nos dois exemplos desenhados.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗