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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 do ITA 2027

1ª fase · Física: Energia mecânica e sua conservação

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use as seguintes informações:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Densidade da água, \rho_{água} = 1\ g/cm^3.
Calor latente da água, L_{água} = 334\ J/g.
Constante de Stefan-Boltzmann, \kappa = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ Wm}^{-2}\text{K}^{-4}.
Emissividade para qualquer material presente nas questões, \varepsilon = 1.
Relação entre o índice de refração n de um meio e as constantes de permeabilidade \mu_r e permissividade \varepsilon_r relativas é dada por: n^2 = \mu_r\ \varepsilon_r.

Duas pequenas esferas metálicas puntiformes idênticas, cada uma de massa m e carga elétrica positiva Q, estão presas às extremidades de duas barras isolantes finas de mesmo comprimento \ell e massas desprezíveis, fixadas em um mesmo ponto. As esferas podem mover-se em um mesmo plano vertical fixo. O sistema é colocado em uma região onde atua um campo elétrico uniforme vertical \vec{E} = -E\hat{y}, como mostra a figura.

Duas barras isolantes de comprimento l suspensas de um teto articuladas no mesmo ponto, com ângulo beta entre si e linha vertical tracejada ao meio, segurando esferas de carga Q e massa m, imersas em um campo elétrico uniforme vertical para baixo E.

Inicialmente, as esferas são mantidas em repouso em uma configuração simétrica tal que o ângulo entre os fios é \beta. Em seguida, elas são liberadas. Despreze a resistência do ar e assinale a alternativa que corresponde à expressão do campo elétrico E para que, durante o movimento, o ângulo entre os fios atinja um valor mínimo igual a 2\alpha.

  1. A
    \frac{kQ}{4\ell^2} \frac{\frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin(\beta/2)}}{\cos \alpha - \cos(\beta/2)} - \frac{mg}{Q}.
  2. B
    \frac{kQ}{4\ell^2} \frac{\frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin(\beta/2)}}{\cos \alpha - \cos(\beta/2)} + \frac{mg}{Q}.
  3. C
    \frac{kQ}{4\ell^2} \frac{\frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin(\beta/2)}}{\cos(\beta/2) - \cos \alpha} - \frac{mg}{Q}.
  4. D
    \frac{kQ}{4\ell^2} \frac{\frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin(\beta/2)}}{\cos(\beta/2) - \cos \alpha} + \frac{mg}{Q}.
  5. E
    \frac{kQ}{4\ell^2} \frac{\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\sin(\beta/2)}}{\cos(\beta/2) - \cos \alpha} + \frac{mg}{Q}.
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Resolução comentada

Cada esfera sofre o peso mg e a força elétrica QE, ambos para baixo, além da repulsão coulombiana. Como as barras são isolantes e inextensíveis, a tração não realiza trabalho, e a energia mecânica do sistema se conserva.

Seja \theta o ângulo de cada barra com a vertical, de modo que \beta = 2\theta_0 e o ângulo mínimo 2\alpha corresponde a \theta=\alpha. A distância entre as esferas é d = 2\ell\sen\theta e a altura de cada esfera abaixo do ponto de fixação é \ell\cos\theta.

A energia potencial total é:

U = \frac{kQ^2}{2\ell\sen\theta} - 2(mg+QE)\,\ell\cos\theta

O sinal negativo aparece porque a força para baixo realiza trabalho positivo quando a esfera desce, isto é, quando \cos\theta aumenta. Nos extremos do movimento a velocidade é nula, então U(\alpha)=U(\beta/2):

\frac{kQ^2}{2\ell}\left(\frac{1}{\sen\alpha}-\frac{1}{\sen(\beta/2)}\right) = 2(mg+QE)\,\ell\left(\cos\alpha-\cos(\beta/2)\right)

Isolando:

mg+QE = \frac{kQ^2}{4\ell^2}\,\frac{\frac{1}{\sen\alpha}-\frac{1}{\sen(\beta/2)}}{\cos\alpha-\cos(\beta/2)}

Dividindo por Q:

E = \frac{kQ}{4\ell^2}\,\frac{\frac{1}{\sen\alpha}-\frac{1}{\sen(\beta/2)}}{\cos\alpha-\cos(\beta/2)} - \frac{mg}{Q}

Coerência: como \alpha<\beta/2, o numerador e o denominador são positivos, então o quociente é positivo, como esperado.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas diferem só nos sinais do denominador e do termo mg/Q; o cuidado é perceber que peso e força elétrica atuam no mesmo sentido, logo mg/Q é subtraído.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSoma mg/Q em vez de subtrair; esquece que o peso também puxa as esferas para baixo e ajuda o campo.
  • CInverte o denominador \cos(\beta/2)-\cos\alpha, que é negativo, e muda o sinal do quociente.
  • DInverte o denominador e soma mg/Q, errando dois sinais.
  • EUsa soma dos inversos dos senos em vez da diferença, além dos sinais trocados.

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗