Questão 20 do ITA 2027

Question

Uma explosão controlada ocorre no solo a 30 m de um prédio de altura H = 40\text{ m} sobre o qual se encontra um engenheiro que mede o intervalo de tempo \Delta t desde a detecção da luz da explosão até a detecção sonora, usando um aparato especial que ele mesmo desenvolveu. Considere c_0 a velocidade do som a T_0 = 273{,}15\text{ K}, T_1 a temperatura do ar desde o solo até a altura h e T_2 a temperatura do ar desde essa mesma altura até o topo do prédio. Ambas temperaturas são expressas em Kelvin e T_2 > T_1 > T_0. Assinale a alternativa que corresponde à fórmula que fornece a altura de inversão térmica h. Use a aproximação \sen(\theta + \Delta\theta) \approx \sen(\theta) para \Delta\theta \ll \theta.

Esquema com um prédio de altura 40 m com um engenheiro no topo, uma explosão no solo a 30 m de distância da base do prédio, e uma linha tracejada horizontal indicando a altura h.

A
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(1{,}25 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}}\right).
B
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(1{,}25 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} + \sqrt{T_1}}\right).
C
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(0{,}8 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} + \sqrt{T_1}}\right).
D
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(0{,}8 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}}\right).
E
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(1{,}25 c_0 \Delta t + H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}}\right).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do ITA 2027

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use as seguintes informações:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Densidade da água, \rho_{água} = 1\ g/cm^3.
Calor latente da água, L_{água} = 334\ J/g.
Constante de Stefan-Boltzmann, \kappa = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ Wm}^{-2}\text{K}^{-4}.
Emissividade para qualquer material presente nas questões, \varepsilon = 1.
Relação entre o índice de refração n de um meio e as constantes de permeabilidade \mu_r e permissividade \varepsilon_r relativas é dada por: n^2 = \mu_r\ \varepsilon_r.

Uma explosão controlada ocorre no solo a 30 m de um prédio de altura H = 40\text{ m} sobre o qual se encontra um engenheiro que mede o intervalo de tempo \Delta t desde a detecção da luz da explosão até a detecção sonora, usando um aparato especial que ele mesmo desenvolveu. Considere c_0 a velocidade do som a T_0 = 273{,}15\text{ K}, T_1 a temperatura do ar desde o solo até a altura h e T_2 a temperatura do ar desde essa mesma altura até o topo do prédio. Ambas temperaturas são expressas em Kelvin e T_2 > T_1 > T_0. Assinale a alternativa que corresponde à fórmula que fornece a altura de inversão térmica h. Use a aproximação \sen(\theta + \Delta\theta) \approx \sen(\theta) para \Delta\theta \ll \theta.

Esquema com um prédio de altura 40 m com um engenheiro no topo, uma explosão no solo a 30 m de distância da base do prédio, e uma linha tracejada horizontal indicando a altura h.

A
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(1{,}25 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}}\right).
B
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(1{,}25 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} + \sqrt{T_1}}\right).
C
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(0{,}8 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} + \sqrt{T_1}}\right).
D
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(0{,}8 c_0 \Delta t - H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}}\right).
E
\sqrt{\frac{T_1 T_2}{T_0}} \left(1{,}25 c_0 \Delta t + H \sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}}\right).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A luz chega praticamente instantaneamente, então \Delta t é o tempo de viagem do som. A velocidade do som no ar varia com a temperatura como c = c_0\sqrt{T/T_0}, portanto c_1 = c_0\sqrt{T_1/T_0} na camada inferior e c_2 = c_0\sqrt{T_2/T_0} na superior.

O som sai do solo e chega ao topo (40 m de altura, 30 m de distância horizontal). A reta direta tem comprimento 50 m, com \sen\theta = 30/50 = 0{,}6 em relação à vertical. Pela aproximação do enunciado, o ângulo (da lei de Snell) é o mesmo nas duas camadas. Assim, o trecho na camada de altura h tem comprimento h/\cos\theta, com \cos\theta = 0{,}8, ou seja, 1{,}25\,h. No trecho superior, de altura H-h, o comprimento é 1{,}25(H-h).

Tempo total: \Delta t = \dfrac{1{,}25h}{c_1} + \dfrac{1{,}25(H-h)}{c_2}.
Multiplicando por c_0 e substituindo: c_0\Delta t = 1{,}25\sqrt{T_0}\left[\dfrac{h}{\sqrt{T_1}} + \dfrac{H-h}{\sqrt{T_2}}\right].
Isolando: \dfrac{c_0\Delta t}{1{,}25} = \ldots ou seja 0{,}8\,c_0\Delta t/\sqrt{T_0} = h\left(\dfrac1{\sqrt{T_1}}-\dfrac1{\sqrt{T_2}}\right)+\dfrac{H}{\sqrt{T_2}}.
Como \dfrac1{\sqrt{T_1}}-\dfrac1{\sqrt{T_2}}=\dfrac{\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1T_2}}, resulta

h=\sqrt{\frac{T_1T_2}{T_0}}\left(0{,}8\,c_0\Delta t-H\sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right)\frac{1}{\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1}}

conferindo: o termo H\sqrt{T_0/T_2} vem de multiplicar H/\sqrt{T_2} por \sqrt{T_0}. Está correto.

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas alternam 1,25 e 0,8 (inverso do fator geométrico 1/cos θ) e soma/diferença das raízes, induzindo erro ao isolar h.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa 1,25 no lugar de 0,8 (inverteu o fator cos θ) no termo do tempo.
Busa 1,25 em vez de 0,8 e soma as raízes no denominador.
Cacerta o 0,8, mas o denominador deveria ter a diferença das raízes, não a soma.
Eusa 1,25 e troca o sinal do termo com H.

Assuntos: velocidade do som, refração (lei de Snell), temperatura do ar.

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Questão 20 no caderno 1ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗