PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 do ITA 2027

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use as seguintes informações:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Densidade da água, \rho_{água} = 1\ g/cm^3.
Calor latente da água, L_{água} = 334\ J/g.
Constante de Stefan-Boltzmann, \kappa = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ Wm}^{-2}\text{K}^{-4}.
Emissividade para qualquer material presente nas questões, \varepsilon = 1.
Relação entre o índice de refração n de um meio e as constantes de permeabilidade \mu_r e permissividade \varepsilon_r relativas é dada por: n^2 = \mu_r\ \varepsilon_r.

Um aro circular fino, de raio R e massa desprezível, gira em torno de seu eixo vertical com uma velocidade angular constante \Omega. Uma pequena miçanga, de massa m e dimensões desprezíveis, está inserida no aro, podendo deslizar sem atrito ao longo de sua circunferência, como pode ser visto na figura abaixo. A aceleração da gravidade local é constante e vale g. Assinale a alternativa que apresenta o maior intervalo de velocidade angular \Omega em que há sempre equilíbrio estável da miçanga em um ângulo \theta_0 > 0^\circ, quando considerado um observador que gira junto com o aro.

Aro circular em um plano vertical, atravessado por um eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma seta curva em torno do eixo, acima do aro, indica a rotação com velocidade angular Ω. Uma miçanga de massa m está na parte inferior direita da circunferência. Um segmento orientado do centro até a miçanga representa o raio R e forma um ângulo θ₀ com a direção vertical para baixo.

  1. A
    \Omega \in \left]\sqrt{g/R}, +\infty\right[.
  2. B
    \Omega \in \left]\sqrt{2g/R}, +\infty\right[.
  3. C
    \Omega \in \left]0, \sqrt{g/R}\right[.
  4. D
    \Omega \in \left]0, \sqrt{2g/R}\right[.
  5. E
    \Omega \in {}]0, +\infty[.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

No referencial que gira com o aro, a miçanga sente o peso e a força centrífuga, e podemos usar uma energia potencial efetiva.

O ângulo \theta é medido a partir da vertical para baixo. A altura da miçanga é -R\cos\theta e a distância ao eixo é R\sen\theta. Então:

U(\theta) = -mgR\cos\theta - \tfrac{1}{2}m\Omega^2R^2\sen^2\theta

  1. Equilíbrio: U'(\theta)=0 dá

    mgR\sen\theta - m\Omega^2R^2\sen\theta\cos\theta = 0 \Rightarrow \sen\theta\,(g - \Omega^2R\cos\theta)=0

  2. Além de \theta=0, existe equilíbrio com \theta_0>0 quando \cos\theta_0 = \dfrac{g}{\Omega^2R}. Isso exige \Omega^2R > g, ou seja, \Omega>\sqrt{g/R}.

  3. Estabilidade: a segunda derivada é

    U'' = mgR\cos\theta - m\Omega^2R^2\cos 2\theta

    Com \Omega^2R\cos\theta_0=g, temos mgR\cos\theta_0 = m\Omega^2R^2\cos^2\theta_0. Logo:
    U'' = m\Omega^2R^2\,(\cos^2\theta_0 - \cos2\theta_0) = m\Omega^2R^2\,\sen^2\theta_0 > 0

    O equilíbrio é estável sempre que existe.

Portanto, o intervalo é \Omega>\sqrt{g/R}. Para \Omega<\sqrt{g/R}, o único equilíbrio é \theta=0.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bo limite \sqrt{2g/R} não surge da condição \cos\theta_0\le1, que dá \sqrt{g/R}.
  • Cé o intervalo em que só existe equilíbrio em \theta=0, sem \theta_0>0.
  • Dusa um limite errado e ainda inclui valores sem equilíbrio em \theta_0>0.
  • Eignora que, para \Omega pequeno, a miçanga fica parada na base do aro.

Assuntos: referencial não inercial, energia potencial efetiva, equilíbrio estável.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗