PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 do ITA 2027

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use as seguintes informações:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Densidade da água, \rho_{água} = 1\ g/cm^3.
Calor latente da água, L_{água} = 334\ J/g.
Constante de Stefan-Boltzmann, \kappa = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ Wm}^{-2}\text{K}^{-4}.
Emissividade para qualquer material presente nas questões, \varepsilon = 1.
Relação entre o índice de refração n de um meio e as constantes de permeabilidade \mu_r e permissividade \varepsilon_r relativas é dada por: n^2 = \mu_r\ \varepsilon_r.

Na missão Artemis II, a espaçonave Orion realiza uma trajetória de ida à Lua. Em um modelo simplificado, após uma manobra de injeção translunar, a nave parte de uma órbita baixa em torno da Terra com velocidade v_0, dirigida exatamente ao longo da reta Terra–Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é igual a D, e a massa da Lua é aproximadamente 81 vezes menor que a massa M da Terra. Assuma o raio da Terra dado por R e despreze tanto efeitos devido ao movimento da Terra e da Lua, bem como a altura orbital da nave antes da injeção translunar. Assinale a alternativa que corresponde ao valor de velocidade v_0 acima da qual a nave consegue chegar à Lua.

  1. A
    \sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}-\frac{10}{9D}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D+R}+\frac{10}{D}\right)\right]}.
  2. B
    \sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}+\frac{10}{9D}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R}-\frac{10}{D}\right)\right]}.
  3. C
    \sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}-\frac{10}{9D}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R}-\frac{10}{D}\right)\right]}.
  4. D
    \sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}-\frac{10}{9D}\right)-\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R}-\frac{10}{D}\right)\right]}.
  5. E
    \sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}+\frac{10}{9D}\right)-\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D+R}-\frac{10}{D}\right)\right]}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A nave só chega à Lua se passar pelo ponto onde as atrações da Terra e da Lua se igualam (ponto de máxima energia potencial). Acima dessa velocidade crítica, ela cai na Lua.

Ponto de equilíbrio. Seja x a distância desse ponto ao centro da Terra. Com m_L = M/81:

\frac{GM}{x^2}=\frac{GM/81}{(D-x)^2}\Rightarrow \frac{D-x}{x}=\frac19\Rightarrow x=\frac{9D}{10},\quad D-x=\frac{D}{10}

Energia potencial (Terra + Lua) em um ponto a distância r da Terra: U=-\dfrac{GMm}{r}-\dfrac{GMm}{81(D-r)}.

  1. Na partida, r=R e a distância à Lua é D-R:

    U_i=-GMm\left[\frac1R+\frac{1}{81(D-R)}\right]

  2. No ponto crítico, com velocidade nula:

    U_c=-GMm\left[\frac{10}{9D}+\frac{10}{81D}\cdot 9\cdot\frac{1}{9}\cdot 9\right]

    Calculando direto: \dfrac1x=\dfrac{10}{9D} e \dfrac{1}{81(D-x)}=\dfrac{10}{81D}, logo
    U_c=-GMm\left[\frac{10}{9D}+\frac{10}{81D}\right]

  3. Conservação de energia:

    \frac12 v_0^2+U_i/m=U_c/m

    v_0^2=2GM\left[\frac1R+\frac{1}{81(D-R)}-\frac{10}{9D}-\frac{10}{81D}\right]

Reagrupando:

v_0=\sqrt{2GM\left[\left(\frac1R-\frac{10}{9D}\right)+\frac1{81}\left(\frac1{D-R}-\frac{10}{D}\right)\right]}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa D+R para a distância da nave à Lua na partida, mas a nave está entre a Terra e a Lua, então é D-R, e troca o sinal do termo 10/D.
  • Bsoma o termo 10/(9D), quando a energia no ponto crítico deve ser subtraída.
  • Dsubtrai o termo da Lua, que na verdade soma-se com o mesmo sinal da parte terrestre.
  • Esinais trocados e D+R no lugar de D-R.

Assuntos: conservação de energia, gravitação universal, velocidade de escape.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗