PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do ITA 2027

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use as seguintes informações:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Densidade da água, \rho_{água} = 1\ g/cm^3.
Calor latente da água, L_{água} = 334\ J/g.
Constante de Stefan-Boltzmann, \kappa = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ Wm}^{-2}\text{K}^{-4}.
Emissividade para qualquer material presente nas questões, \varepsilon = 1.
Relação entre o índice de refração n de um meio e as constantes de permeabilidade \mu_r e permissividade \varepsilon_r relativas é dada por: n^2 = \mu_r\ \varepsilon_r.

Duas esferas homogêneas, em contato entre si, repousam sobre um piso, e a maior também está em contato com um degrau, conforme ilustra a figura ao lado. A esfera menor tem massa m e raio R, enquanto a maior tem raio 2R e está fixa. O coeficiente de atrito estático entre as esferas e entre a esfera menor e o piso é \mu = \sqrt{2}/8. Uma força \vec{F}, de intensidade aumentada gradativamente, é aplicada horizontalmente na esfera menor a uma altura 3R/2. Assinale a alternativa que corresponde à máxima intensidade da força \vec{F} em que a esfera menor ainda permaneça em repouso.

Duas esferas em contato entre si e apoiadas em um piso horizontal: a menor à esquerda e a maior à direita. A esfera maior também encosta na quina de um degrau à direita. Uma seta horizontal identificada como aponta para a direita e atua na esfera menor acima de seu centro.

  1. A
    2\dfrac{\sqrt{2}}{5}mg.
  2. B
    4\sqrt{2}mg.
  3. C
    \dfrac{\sqrt{18}}{19}mg.
  4. D
    10\dfrac{\sqrt{2}}{19}mg.
  5. E
    5\dfrac{\sqrt{2}}{9}mg.
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Resolução comentada

Tomando o centro da esfera menor, a distância entre os centros é R+2R=3R. A esfera maior toca o piso, então seu centro está a 2R de altura, e o da menor a R. A diferença de altura é R, logo a horizontal vale \sqrt{9R^2-R^2}=2\sqrt2R. A reta dos centros tem componentes (2\sqrt2,1)/3.

Forças na esfera menor: F, mg, normal do piso N_2 e atrito do piso f_2, normal N_1 e atrito f_1 do contato com a esfera maior.

  1. Torque em relação ao centro: F age a R/2 acima dele e o atrito do piso a R abaixo. Então f_1R=F\frac R2+f_2R, ou seja, f_1=\frac F2+f_2.
  2. Horizontal: F=f_2+\frac{2\sqrt2}{3}N_1+\frac{f_1}{3}.
  3. Vertical: N_2=mg+\frac{N_1}{3}-\frac{2\sqrt2}{3}f_1.

Substituindo f_2=f_1-F/2 na horizontal: F=\frac{8}{9}f_1+\frac{4\sqrt2}{9}N_1.

O atrito entre as esferas limita f_1\le\mu N_1=\frac{\sqrt2}{8}N_1, o que dá F\le\frac{5\sqrt2}{9}N_1. Com f_1=\mu N_1, a vertical dá N_2=mg+\frac{N_1}{6} e f_2=-\frac{11\sqrt2}{72}N_1, ou seja, o atrito do piso aponta para a direita.

A condição no piso é |f_2|\le\mu N_2:

\frac{11\sqrt2}{72}N_1\le\frac{\sqrt2}{8}\left(mg+\frac{N_1}{6}\right)\Rightarrow \frac{19}{18}N_1\le mg\Rightarrow N_1\le\frac{18}{19}mg.

Então F_{máx}=\frac{5\sqrt2}{9}\cdot\frac{18}{19}mg=\frac{10\sqrt2}{19}mg.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana: é o resultado de considerar só o atrito no contato entre as esferas (F=5\sqrt2N_1/9), sem checar o limite do atrito no piso.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma combinação consistente dos limites de atrito; ignora o vínculo entre atrito do piso e do contato.
  • BValor muito grande, sem relação com os limites de atrito das duas superfícies.
  • CErra a geometria ou o torque, gerando um coeficiente numérico incorreto.
  • EUsa só o atrito entre as esferas no limite e ignora a condição de atrito no piso, que é a que limita.

Assuntos: equilíbrio de corpo rígido, atrito estático, torque.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗