PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do ITA 2027

1ª fase · Física

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando e se necessário, use as seguintes informações:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Densidade da água, \rho_{água} = 1\ g/cm^3.
Calor latente da água, L_{água} = 334\ J/g.
Constante de Stefan-Boltzmann, \kappa = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ Wm}^{-2}\text{K}^{-4}.
Emissividade para qualquer material presente nas questões, \varepsilon = 1.
Relação entre o índice de refração n de um meio e as constantes de permeabilidade \mu_r e permissividade \varepsilon_r relativas é dada por: n^2 = \mu_r\ \varepsilon_r.

As interações fundamentais da natureza podem ser interpretadas como sendo mediadas pela troca de partículas. A interação eletromagnética, por exemplo, é mediada pelo fóton, a interação fraca pelos bósons W^\pm e Z^0 e a interação forte por glúons. Dentro do núcleo, prótons e nêutrons interagem via interação forte que, de forma efetiva para esse tipo de sistema, é modelada pela troca de mésons. O píon (ou méson \pi) é uma partícula que foi experimentalmente identificada em 1947 por um grupo de pesquisadores do qual fazia parte o brasileiro César Lattes. Seja m a massa de um certo méson cujo alcance característico da interação é r. Se essa massa está relacionada apenas com a constante de Planck reduzida \hbar = h/(2\pi), com a velocidade da luz c e com r, determine a expressão para m dimensionalmente compatível com essas grandezas.

  1. A
    \dfrac{\hbar}{cr}.
  2. B
    \dfrac{\hbar c}{r}.
  3. C
    \dfrac{\hbar}{c r^2}.
  4. D
    \dfrac{\hbar c}{r^2}.
  5. E
    \dfrac{\hbar}{c^2 r}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Análise dimensional: supomos m = k\,\hbar^a c^b r^c e comparamos as dimensões de cada lado.

Dimensões das grandezas:

  • [\hbar] = \text{J}\cdot\text{s} = \text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-1}
  • [c] = \text{m}\,\text{s}^{-1}
  • [r] = \text{m}
  • [m] = \text{kg}

Como [\hbar] é a única grandeza que contém massa, e com expoente 1 em kg, devemos ter a = 1.

Agora igualamos os expoentes de metro e de segundo:

  1. Metro: 2 + b + c = 0
  2. Segundo: -1 - b = 0, logo b = -1
  3. Substituindo na primeira: 2 - 1 + c = 0, logo c = -1

Portanto:

m = k\,\frac{\hbar}{c\,r}

Conferindo: \dfrac{\text{kg}\,\text{m}^2\text{s}^{-1}}{(\text{m}\,\text{s}^{-1})(\text{m})} = \text{kg}, que é a dimensão de massa.

Observe que a expressão correta tem c e não c^2 no denominador. Isso ocorre porque, aqui, \hbar/(cr) já tem unidade de massa. A forma física mc^2 seria uma energia, mas o enunciado pede apenas a compatibilidade dimensional.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem lembra de E=mc^2 e coloca c^2 no denominador, mas a análise dimensional exige c com expoente 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B\hbar c/r tem dimensão de força (N), não de massa.
  • C\hbar/(cr^2) tem dimensão de massa por metro, sobra \text{m}^{-1}.
  • D\hbar c/r^2 tem dimensão de força por comprimento, não de massa.
  • E\hbar/(c^2 r) tem dimensão de massa por velocidade, sobra \text{s/m}.

Assuntos: análise dimensional, constante de Planck.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno 1ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗