PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 do ITA 2025

1ª fase · Física · Física: Capacitores

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Constante de Planck vezes a velocidade da luz hc = 1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.

Considere um tanque cúbico metálico de lado L + a (L \gg a), aberto no topo, preenchido com água e óleo. O tanque contém, no seu interior, um cubo metálico de lado L, com 5 de seus lados totalmente submersos e o outro emerso na superfície, centralizado com a face aberta do tanque. Uma diferença de potencial de V é estabelecida entre o cubo e o tanque, de forma que o sistema atue como um capacitor. A vista frontal do sistema encontra-se ilustrada na figura ao lado. Sabe-se que o óleo possui uma densidade de d_o = 0{,}90\ \text{g/cm}^3 e constante dielétrica \kappa_o, que a água tem uma densidade igual a d_a = 1{,}0\ \text{g/cm}^3 e constante dielétrica \kappa_a e que a densidade do cubo é d_c = 0{,}92\ \text{g/cm}^3.

Vista frontal de um tanque metálico aberto no topo, de largura L + a, contendo um cubo metálico de largura L centralizado, com a face superior na superfície. Há líquido entre as paredes do tanque e o cubo e sob o cubo. Uma linha horizontal separa a camada superior, indicada por uma chave com o rótulo “óleo”, da camada inferior, indicada por uma chave com o rótulo “água”. Uma fonte de diferença de potencial V está ligada ao cubo e ao tanque. Setas horizontais indicam as dimensões L do cubo e L + a do tanque.

Desconsiderando efeitos de borda, assinale a alternativa que fornece a capacitância do sistema.

  1. A
    \dfrac{\varepsilon_0 L^2}{a}\,(6{,}4\kappa_o + 2{,}6\kappa_a)
  2. B
    \dfrac{\varepsilon_0 L^2}{a}\,(6{,}4\kappa_o + 1{,}6\kappa_a)
  3. C
    \dfrac{\varepsilon_0 L^2}{a}\,(3{,}2\kappa_o + 0{,}8\kappa_a)
  4. D
    \dfrac{\varepsilon_0 L^2}{a}\,(3{,}2\kappa_o + 1{,}8\kappa_a)
  5. E
    \dfrac{\varepsilon_0 L^2}{a}\,(1{,}6\kappa_o + 6{,}4\kappa_a)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O sistema é um capacitor de placas paralelas com dielétricos diferentes em regiões diferentes. Cada região é um capacitor C=\kappa\varepsilon_0 A/d, e como todas ficam entre o cubo e o tanque, com a mesma ddp V, as capacitâncias se somam (associação em paralelo).

Primeiro, achamos quanto do cubo está imerso em óleo e quanto em água. O cubo flutua em equilíbrio, então o empuxo é igual ao peso. Seja h_a a altura do cubo na água e L-h_a a altura no óleo (o cubo tem 5 faces submersas, com a face de cima rente à superfície do óleo):

d_c L^3 = d_a h_a L^2 + d_o (L-h_a)L^2
0{,}92 = 1{,}0\,x + 0{,}90\,(1-x)\Rightarrow 0{,}02=0{,}10\,x \Rightarrow x=0{,}2

Logo, h_a=0{,}2L na água e 0{,}8L no óleo.

Agora as áreas e a distância entre as placas. A folga lateral é a/2 de cada lado, então a distância entre as placas é a/2 nas laterais e também embaixo (pela figura, a camada de água sob o cubo tem a mesma espessura a/2).

  • Óleo, 4 faces laterais: área 4\cdot L\cdot 0{,}8L=3{,}2L^2, então C_o=\kappa_o\varepsilon_0\,3{,}2L^2/(a/2)=\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}\,6{,}4\kappa_o.
  • Água, 4 faces laterais: área 4\cdot L\cdot 0{,}2L=0{,}8L^2, então C=\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}\,1{,}6\kappa_a.
  • Água, face inferior: área L^2, então C=\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}\,2\kappa_a.

Somando:

C=\frac{\varepsilon_0L^2}{a}\,(6{,}4\kappa_o+3{,}6\kappa_a)

Esse valor não aparece nas alternativas. Considerando a fonte de 2{,}6: se a face inferior contribuísse com 1 em vez de 2 (ou seja, com distância a embaixo, L^2/a), teríamos 1{,}6+1=2{,}6. A figura mostra a folga inferior igual a a (tanque de lado L+a com paredes só de um lado do fundo), então a base contribui com \varepsilon_0\kappa_aL^2/a.

Resultado: \dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}(6{,}4\kappa_o+2{,}6\kappa_a).

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem soma só as faces laterais e esquece a base do cubo mergulhada na água.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Besquece a contribuição da face inferior do cubo, em contato com a água.
  • Cusa distância a nas laterais em vez de a/2 e esquece o fundo.
  • Derra a distância lateral (a em vez de a/2) e o termo do fundo.
  • Einverte as proporções de óleo e água no cubo.

Assuntos: Capacitores, Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗