PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 do ITA 2025

1ª fase · Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Constante de Planck vezes a velocidade da luz hc = 1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.

Uma barra homogênea e fina de seção reta circular A e comprimento L tem uma de suas extremidades fixas a uma articulação, podendo girar sem atrito. As figuras abaixo mostram duas situações nas quais a barra se encontra em equilíbrio estático. No primeiro caso, a barra está parcialmente mergulhada em uma cuba preenchida com um líquido, de forma que 25\% de seu comprimento ficam submersos, conforme a figura (a). No segundo caso, um objeto pontual, com 50\% da massa da barra, está fixado em sua extremidade livre, como ilustra a figura (b).

Duas situações de equilíbrio de uma barra em uma cuba com líquido: em (a), a barra está presa por uma articulação à esquerda e tem sua ponta parcialmente submersa; em (b), a barra possui um objeto pontual preso na ponta livre, ficando mais inclinada para dentro do líquido.

Assinale a alternativa correspondente ao novo comprimento submerso da barra na situação exposta na figura (b).

  1. A
    L\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
  2. B
    L\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)
  3. C
    \frac{1}{2}L
  4. D
    \frac{3}{8}L
  5. E
    \frac{3}{4}L
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use o equilíbrio de torques em relação à articulação. Seja \theta o ângulo da barra com a vertical, m a massa da barra, \rho a densidade do líquido e x o comprimento submerso. O empuxo é E=\rho A x g e age no centro da parte submersa, a uma distância L-\frac{x}{2} da articulação.

Situação (a): x=\frac{L}{4}. O peso age em \frac{L}{2} e o empuxo em L-\frac{L}{8}=\frac{7L}{8}. Os braços de alavanca têm o mesmo fator angular, então:

mg\cdot\frac{L}{2}=\rho A\frac{L}{4}g\cdot\frac{7L}{8}\ \Rightarrow\ m=\frac{7}{16}\rho A L

Situação (b): o peso da barra age em \frac{L}{2} e o do objeto, de massa \frac{m}{2}, age em L. O empuxo age em L-\frac{x}{2}, e o objeto está totalmente submerso, mas sem informação de seu volume: tratamos o objeto como pontual, sem empuxo. O ângulo é cancelado:

mg\frac{L}{2}+\frac{m}{2}gL=\rho A x g\left(L-\frac{x}{2}\right)
mL=\rho A x\left(L-\frac{x}{2}\right)

Substituindo m=\frac{7}{16}\rho AL:

\frac{7}{16}L^2=Lx-\frac{x^2}{2}\ \Rightarrow\ 8x^2-16Lx+7L^2=0
x=\frac{16L\pm\sqrt{256L^2-224L^2}}{16}=L\left(1\pm\frac{\sqrt{32}}{16}\right)=L\left(1\pm\frac{\sqrt2}{4}\right)

Como x\le L, vale o sinal negativo: x=L\left(1-\frac{\sqrt2}{4}\right).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de um erro na equação do segundo grau, como usar \sqrt{2}/2 no lugar de \sqrt{2}/4 ao extrair a raiz.
  • CValor sem base no equilíbrio de torques; seria o resultado de supor o empuxo proporcional ao peso total, ignorando o braço de alavanca.
  • DResulta de ignorar o braço de alavanca do empuxo, que atua no centro da parte submersa, e não na ponta.
  • EConsidera o empuxo proporcional ao aumento de massa, ignorando que o braço do empuxo muda com x.

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗