PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do ITA 2025

1ª fase · Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Constante de Planck vezes a velocidade da luz hc = 1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.

Considere três osciladores massa-mola independentes (1, 2 e 3) de massa m e constantes elásticas k_1, k_2 e k_3, respectivamente. O tempo que o sistema massa-mola 1 leva para completar uma oscilação é igual ao tempo que o sistema massa-mola 2 leva para completar duas oscilações e ao tempo que o sistema massa-mola 3 leva para completar três oscilações. Agora considere um sistema composto por essas mesmas três molas acopladas em série e colocadas para oscilar junto a um objeto de massa 4m.

Assinale a alternativa que contém o valor numérico mais próximo da razão entre a frequência do sistema massa-mola 1 e a frequência do sistema massa-mola em série.

  1. A
    7{,}5
  2. B
    3{,}8
  3. C
    2{,}7
  4. D
    2{,}3
  5. E
    1{,}0
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Resolução comentada

Para um oscilador massa-mola, o período é T = 2\pi\sqrt{m/k}, ou seja, a frequência é f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m} e k = 4\pi^2 m f^2. Logo k é proporcional a f^2 (mesma massa m).

O sistema 1 faz 1 oscilação no mesmo tempo em que o 2 faz 2 e o 3 faz 3. Então f_2 = 2f_1 e f_3 = 3f_1.

Assim:

  1. k_1 = k
  2. k_2 = 4k
  3. k_3 = 9k

Molas em série: o inverso da constante equivalente é a soma dos inversos.

\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k}+\frac{1}{4k}+\frac{1}{9k} = \frac{36+9+4}{36k} = \frac{49}{36k}

Portanto k_{eq} = \frac{36}{49}k.

Agora o sistema em série oscila com massa 4m:

f_{s} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{eq}}{4m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{36k}{49\cdot 4m}}

A razão pedida é:

\frac{f_1}{f_s} = \sqrt{\frac{k/m}{36k/(196m)}} = \sqrt{\frac{196}{36}} = \frac{14}{6} \approx 2{,}33

O valor mais próximo é 2{,}3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AProvavelmente soma as constantes ou usa a razão sem a raiz quadrada, chegando a valores muito altos.
  • BNão corresponde ao cálculo correto; resulta de associar mal as constantes (por exemplo, esquecer a massa 4m ou errar a série).
  • CValor próximo, mas não decorre da razão correta 14/6.
  • ESupõe que a frequência não muda, ignorando a associação em série e a massa 4m.

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Força elástica e lei de Hooke.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗