PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do ITA 2025

1ª fase · Física · Física: Leis de Kepler

Texto-base das questões 13 a 24 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Constante de Planck vezes a velocidade da luz hc = 1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.

Um explorador em um planeta exótico, circundado por um satélite natural, observa que o intervalo de tempo entre as fases cheia e nova de seu satélite é de 58 dias terrestres. Sabe-se que a massa desse planeta é igual à massa da Terra e muito maior que a massa de seu satélite.

Assinale a alternativa que contém a estimativa correta da distância entre o planeta exótico e seu satélite.

  1. A
    8 \times 10^8\ \text{m}
  2. B
    1 \times 10^9\ \text{m}
  3. C
    2 \times 10^9\ \text{m}
  4. D
    4 \times 10^9\ \text{m}
  5. E
    6 \times 10^9\ \text{m}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Entre a fase cheia e a nova passa meio período sinódico do satélite. Como o enunciado trata o planeta como referencial (ele é muito mais massivo), vamos supor que o intervalo entre fases seja meio período orbital: T/2 = 58 dias, logo T = 116 dias.

Conceito: a gravidade do planeta fornece a força centrípeta do satélite, o que leva à terceira lei de Kepler:

\frac{GMm}{r^2}=m\omega^2 r \Rightarrow r^3=\frac{GMT^2}{4\pi^2}

Passos:

  1. T = 116 \times 86400 \approx 1{,}0\times10^{7}\ \text{s} (exatamente 1{,}002\times10^7 s).
  2. GM = 6{,}7\times10^{-11}\times6{,}0\times10^{24}=4{,}02\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2.
  3. T^2 \approx 1{,}0\times10^{14}\ \text{s}^2.
  4. r^3=\dfrac{4{,}02\times10^{14}\times1{,}0\times10^{14}}{39{,}5}\approx1{,}02\times10^{27}\ \text{m}^3.
  5. r\approx1{,}0\times10^{9}\ \text{m}.

Portanto a distância é cerca de 1\times10^9\ \text{m}.

Alternativa B.

Pegadinha: Tomar 58 dias como o período completo da órbita, quando cheia→nova é só meio período, muda o resultado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que o obtido; resulta de erro de potência na conta de r^3.
  • CCorresponde a usar T=58 dias como período completo e erro na conta, ou outro erro de fator.
  • DValor muito alto, de erro na raiz cúbica ou no uso de T^2.
  • EValor muito alto, de erro na raiz cúbica ou no uso de T^2.

Assuntos: Leis de Kepler, Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗