PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 do ITA 2020

1ª fase · Matemática · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:

I. p(x) é divisível por x^2 - 4;

II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1;

III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3;

IV. p(-1) = -\dfrac{15}{4};

então, p(1) é igual a

  1. A
    -\dfrac{17}{2}.
  2. B
    -\dfrac{19}{4}.
  3. C
    -\dfrac{3}{2}.
  4. D
    \dfrac{9}{4}.
  5. E
    \dfrac{9}{2}.
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Resolução comentada

Como p(x) é divisível por x^2-4=(x-2)(x+2), as raízes 2 e -2 pertencem a p. Sejam r e s as outras duas raízes (podem ser complexas conjugadas, pois os coeficientes são reais).

Usando as relações de Girard:

  1. Soma das raízes: 2+(-2)+r+s=1, logo r+s=1.
  2. Produto das raízes: 2\cdot(-2)\cdot rs=3, logo rs=-\dfrac{3}{4}.

Assim, podemos escrever

p(x)=a(x^2-4)(x^2-(r+s)x+rs)=a(x^2-4)\left(x^2-x-\dfrac{3}{4}\right).

Usamos agora p(-1)=-\dfrac{15}{4}:

p(-1)=a(1-4)\left(1+1-\dfrac{3}{4}\right)=a(-3)\cdot\dfrac{5}{4}=-\dfrac{15a}{4}.

Igualando a -\dfrac{15}{4}, obtemos a=1.

Por fim, calculamos p(1):

p(1)=(1-4)\left(1-1-\dfrac{3}{4}\right)=(-3)\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{9}{4}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado sem base nas relações de Girard; provável erro de sinal ao montar o fator quadrático e calcular p(1).
  • BNão corresponde ao cálculo correto; ignora que a=1 ou erra o sinal do produto rs.
  • CVem de usar o produto das raízes sem o fator 2\cdot(-2), tomando rs=3.
  • EDobra o valor correto, por erro no coeficiente a ou na conta final.

Assuntos: Polinômios, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗