PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

A expansão decimal do número 100! = 100 \cdot 99 \cdots 2 \cdot 1 possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a

  1. A
    20.
  2. B
    21.
  3. C
    22.
  4. D
    23.
  5. E
    24.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada zero final de 100! vem de um fator 10 = 2\cdot 5. Então o número de zeros finais é o menor entre os expoentes de 2 e de 5 na fatoração de 100!. Como há muito mais fatores 2 do que 5, basta contar os fatores 5.\n\nPara contar o expoente de um primo p em n!, somamos \left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \dots (cada múltiplo de 5 dá um fator, cada múltiplo de 25 dá mais um, e assim por diante).\n\n1. Múltiplos de 5 até 100: \left\lfloor \frac{100}{5}\right\rfloor = 20.\n2. Múltiplos de 25 até 100: \left\lfloor \frac{100}{25}\right\rfloor = 4. Esses números (25, 50, 75, 100) têm um segundo fator 5, que ainda não foi contado.\n3. Múltiplos de 125: 0, pois 125>100.\n\nTotal de fatores 5: 20 + 4 = 24.\n\nO expoente de 2 é 50+25+12+6+3+1 = 97, bem maior que 24. Logo, o número de fatores 10 é 24, e 100! termina em 24 zeros.\n\nAlternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem conta apenas os múltiplos de 5 e esquece que 25, 50, 75 e 100 contribuem com dois fatores 5 cada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconta só os múltiplos de 5 (20) e esquece os fatores extras dos múltiplos de 25.
  • Bvalor sem justificativa, soma parcial incorreta dos fatores 5.
  • Cvalor sem justificativa, não corresponde à soma 20 + 4.
  • Dvalor sem justificativa, perde um fator 5 na contagem dos múltiplos de 25.

Assuntos: fatorial, fatoração em primos.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗