PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 51 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Os pontos B = (1, 1 + 6\sqrt{2}) e C = (1 + 6\sqrt{2}, 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são

  1. A
    (7\sqrt{2}, 7\sqrt{2}).
  2. B
    (\sqrt{2}, \sqrt{2}).
  3. C
    (1 + 7\sqrt{2}, 1 + 7\sqrt{2}).
  4. D
    (1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}).
  5. E
    (1 + 6\sqrt{2}, 1 + 6\sqrt{2}).
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como o triângulo é isósceles de base BC, o vértice A está na mediatriz de BC. Como B e C são simétricos em relação à reta y=x, a mediatriz é a reta y=x, e A=(a,a).

Passo 1: base e ponto médio.

BC=\sqrt{(6\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=\sqrt{144}=12.

O ponto médio é M=\left(1+3\sqrt2,\,1+3\sqrt2\right).

Passo 2: a altura h=AM e o incentro.

O incentro I fica sobre a altura, a distância r=3 da base, ou seja, MI=3. O triângulo tem semibase 6 e altura h, então os lados iguais medem \sqrt{36+h^2}.

Área =\dfrac{12h}{2}=6h e semiperímetro p=6+\sqrt{36+h^2}.

Como área =r\cdot p:

6h=3\left(6+\sqrt{36+h^2}\right)\Rightarrow 2h-6=\sqrt{36+h^2}

Elevando ao quadrado: 4h^2-24h+36=36+h^2\Rightarrow 3h^2=24h\Rightarrow h=8.

Passo 3: coordenadas de A.

A é afastado de M por 8 ao longo da direção (1,1)/\sqrt2, no sentido que se afasta da origem (o triângulo está no primeiro quadrante, e a alternativa com A "acima" é a que serve). Cada coordenada aumenta 8/\sqrt2=4\sqrt2:

A=(1+3\sqrt2+4\sqrt2,\;1+3\sqrt2+4\sqrt2)=(1+7\sqrt2,\,1+7\sqrt2)

O outro sentido daria 1-\sqrt2<0, fora do primeiro quadrante.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece de somar 1 às coordenadas, ignorando que o ponto médio de BC é (1+3√2, 1+3√2).
  • BCorresponde ao outro sentido da altura sem o deslocamento de 1, e fica longe da condição de raio 3.
  • DNão está sobre a mediatriz y = x, pois suas coordenadas são diferentes.
  • EUsa h = 3√2 + 3√2 ... na verdade soma 6√2 ao 1, o que dá altura 6 e não 8, incompatível com r = 3.

Assuntos: geometria analítica, circunferência inscrita, triângulo isósceles.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗