PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 do ITA 2020

1ª fase · Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja A um ponto externo a uma circunferência \lambda de centro O e raio r. Considere uma reta passando por A e secante a \lambda nos pontos C e D tal que o segmento \overline{AC} é externo a \lambda e tem comprimento igual a r. Seja B o ponto de \lambda tal que O pertence ao segmento \overline{AB}. Se o ângulo B\hat{A}D mede 10^\circ, então a medida do ângulo B\hat{O}D é igual a

  1. A
    25^\circ.
  2. B
    30^\circ.
  3. C
    35^\circ.
  4. D
    40^\circ.
  5. E
    45^\circ.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Este é o clássico problema de Arquimedes (trissecção do ângulo). A ideia é usar triângulos isósceles e o teorema do ângulo externo.

Seja \alpha = B\hat{A}D = 10^\circ. Como AC = r = OC (C está na circunferência), o triângulo ACO é isósceles de base \overline{AO}:

  1. A\hat{O}C = C\hat{A}O = 10^\circ.
  2. O ângulo O\hat{C}D é externo ao triângulo ACO no vértice C, então O\hat{C}D = 10^\circ + 10^\circ = 20^\circ.
  3. Como OC = OD = r, o triângulo OCD é isósceles de base \overline{CD}, logo O\hat{D}C = O\hat{C}D = 20^\circ.
  4. O ângulo B\hat{O}D é externo ao triângulo AOD no vértice O (pois A, O, B são colineares). Ele é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes: B\hat{O}D = O\hat{A}D + O\hat{D}A.
  5. Aqui O\hat{D}A = O\hat{D}C = 20^\circ, pois A, C, D são colineares e C está entre A e D.

Assim:

B\hat{O}D = 10^\circ + 20^\circ = 30^\circ

Conferindo pela relação clássica: o ângulo central é o triplo de \alpha, 3\cdot 10^\circ = 30^\circ.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; não resulta da soma 10^\circ+20^\circ dos ângulos do triângulo AOD.
  • CNão corresponde ao triplo de 10^\circ nem ao teorema do ângulo externo.
  • DDobra o ângulo O\hat{C}D de 20^\circ, confundindo-o com o ângulo central.
  • EValor sem relação com a construção; ignora que o ângulo central é 3\alpha.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗