PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 do ITA 2020

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 41 a 55 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots, \}: conjunto dos números naturais.
\varnothing : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
C \cap D = interseção entre os conjuntos C e D.
M^2 = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja a um número real satisfazendo 0 < a < \frac{\pi}{2}. Então, a soma de todos os valores de x \in [0, 2\pi] que satisfazem a equação

\cos x \sen(a + x) = \sen a

é igual a

  1. A
    5\pi + 2a.
  2. B
    5\pi + a.
  3. C
    5\pi.
  4. D
    5\pi - a.
  5. E
    5\pi - 2a.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a transformação de produto em soma: \cos x\,\sen(a+x)=\frac{1}{2}[\sen(a+2x)+\sen a].

Assim, a equação fica:

  1. \sen(a+2x)+\sen a = 2\sen a
  2. \sen(a+2x)=\sen a

Seja u=a+2x. Como x\in[0,2\pi], temos u\in[a,\,a+4\pi].

As soluções de \sen u=\sen a são u=a+2k\pi ou u=\pi-a+2k\pi.

Primeira família: u=a,\ a+2\pi,\ a+4\pi, todos dentro do intervalo. Isso dá x=0,\ \pi,\ 2\pi.

Segunda família: u=\pi-a+2k\pi. Com 0<a<\frac{\pi}{2}, vale \pi-a>a e, para k=0 e k=1, o valor fica abaixo de a+4\pi. Para k=2, u=5\pi-a>a+4\pi pois \pi>2a. Logo só valem k=0,1: u=\pi-a e u=3\pi-a.

Isso dá 2x=\pi-2a e 2x=3\pi-2a, ou seja, x=\frac{\pi}{2}-a e x=\frac{3\pi}{2}-a. Ambos estão em [0,2\pi].

Soma das cinco soluções:

0+\pi+2\pi+\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=5\pi-2a

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra o sinal de a e o coeficiente: as soluções da segunda família têm -a cada, não +a.
  • BTambém troca o sinal e conta a só uma vez.
  • CEsquece que a segunda família de soluções depende de a, deixando de subtrair 2a.
  • DSubtrai a apenas uma vez, esquecendo que há duas soluções com -a.

Assuntos: equações trigonométricas, transformação de produto em soma.

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Fonte: ITA 2020 · 1ª fase. Prova oficial ↗